Задача №18042

а) Решите уравнение $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\sin (\pi +x)=0\text{.}$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{9\pi }{2};6\pi \right]\text{.}$

а) Преобразуем левую часть уравнения. По формуле приведения $\sin (\pi +x)=-\sin x\text{,}$ поэтому уравнение принимает вид

Раскроем синус суммы:

Подставим $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{:}$

Умножим обе части на $-2\text{:}$

Так как $\cos x=0$ не даёт решений (при $\cos x=0$ было бы $\sin x=0\text{,}$ что невозможно одновременно), разделим обе части на $\cos x\ne 0\text{:}$

Отсюда

(Можно прийти к этому и иначе: исходное выражение свёртывается в $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{,}$ и из $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=0$ получаем $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{,}$ то есть $x=\frac{\pi }{3}+\pi k\text{.}$)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{9\pi }{2};6\pi \right]\text{,}$ с помощью двойного неравенства:

Разделим все части на $\pi \text{:}$

Вычтем $\frac{1}{3}\text{:}$

Единственное целое значение в этом промежутке — $k=5\text{.}$ Подставив его, получаем

Проверим: $\frac{16\pi }{3}\approx 16,76\text{,}$ а отрезок есть $\left[\frac{9\pi }{2};6\pi \right]\approx [14,14;18,85]\text{,}$ так что найденный корень действительно лежит на отрезке.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ б) $\frac{16\pi }{3}\text{.}$