а) Решите уравнение sin(x + (pi)/(3)) + sin(pi + x) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(9pi)/(2);6pi].

**а)** Преобразуем левую часть уравнения. По формуле приведения sin(pi + x) = -sin x , поэтому уравнение принимает вид sin(x + (pi)/(3)) - sin x = 0. Раскроем синус суммы: sin x cos(pi)/(3) + cos x sin(pi)/(3) - sin x = 0. Подставим cos(pi)/(3) = (1)/(2) и sin(pi)/(3) = (sqrt(3))/(2) : (1)/(2)sin x + (sqrt(3))/(2)cos x - sin x = 0, -(1)/(2)sin x + (sqrt(3))/(2)cos x = 0. Умножим обе части на -2 : sin x - sqrt(3)cos x = 0. Так как cos x = 0 не даёт решений (при cos x = 0 было бы sin x = 0 , что невозможно одновременно), разделим обе части на cos x != 0 : tg x = sqrt(3). Отсюда x = (pi)/(3) + pi k, k in Z. (Можно прийти к этому и иначе: исходное выражение свёртывается в cos(x + (pi)/(6)) , и из cos(x + (pi)/(6)) = 0 получаем x + (pi)/(6) = (pi)/(2) + pi k , то есть x = (pi)/(3) + pi k .) **б)** Отберём корни, принадлежащие отрезку [(9pi)/(2);6pi] , с помощью двойного неравенства: (9pi)/(2) (pi)/(3) + pi k 6pi. Разделим все части на pi : (9)/(2) (1)/(3) + k 6. Вычтем (1)/(3) : (9)/(2) - (1)/(3) k 6 - (1)/(3), (25)/(6) k (17)/(3), то есть 4(1)/(6) k 5(2)/(3). Единственное целое значение в этом промежутке — k = 5 . Подставив его, получаем x = (pi)/(3) + 5pi = (pi + 15pi)/(3) = (16pi)/(3). Проверим: (16pi)/(3) ~ 16,76 , а отрезок есть [(9pi)/(2);6pi] ~ [14,14;18,85] , так что найденный корень действительно лежит на отрезке. **Ответ:** а) (pi)/(3) + pi k, k in Z ; б) (16pi)/(3) .

а) \(\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\); б) \(\dfrac{16\pi}{3}\)