Задача №18040

а) Решите уравнение $2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=0\text{.}$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]\text{.}$

а) Преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся формулами приведения и косинуса разности.

Сначала заметим, что

Раскроем косинус разности в первом слагаемом:

Тогда

Подставим в исходное уравнение:

Разделим обе части на $\sqrt{2}\ne 0\text{:}$

Заметим, что $\cos x=0$ корнем быть не может: при $\cos x=0$ из равенства следовало бы $\sin x=0\text{,}$ что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{.}$ Поэтому можно разделить обе части равенства на $\cos x\ne 0\text{:}$

Отсюда получаем серию корней:

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]\text{.}$ Решим двойное неравенство:

Разделим все части на $\pi \text{:}$

Вычтем $\frac{1}{4}\text{:}$

Единственное целое значение в этом промежутке — это $n=1\text{.}$ При $n=1$ получаем:

Проверим: $\frac{\pi }{2}=\frac{2\pi }{4}\approx 1,57\text{,}$ $\frac{5\pi }{4}\approx 3,93\text{,}$ $2\pi \approx 6,28\text{,}$ и действительно $\frac{\pi }{2}⩽\frac{5\pi }{4}⩽2\pi \text{.}$

Таким образом, отрезку $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ принадлежит единственный корень $\frac{5\pi }{4}\text{.}$

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{;}$ б) $\frac{5\pi }{4}\text{.}$