а) Решите уравнение 2cos(x - (pi)/(4)) + 2sqrt(2)cos((pi)/(2) + x) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(pi)/(2);2pi].

**а)** Преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся формулами приведения и косинуса разности. Сначала заметим, что cos((pi)/(2) + x) = -sin x. Раскроем косинус разности в первом слагаемом: cos(x - (pi)/(4)) = cos x cos(pi)/(4) + sin x sin(pi)/(4) = (sqrt(2))/(2)cos x + (sqrt(2))/(2)sin x. Тогда 2cos(x - (pi)/(4)) = sqrt(2)cos x + sqrt(2)sin x, 2sqrt(2)cos((pi)/(2) + x) = 2sqrt(2)(-sin x) = -2sqrt(2)sin x. Подставим в исходное уравнение: sqrt(2)cos x + sqrt(2)sin x - 2sqrt(2)sin x = 0, sqrt(2)cos x - sqrt(2)sin x = 0. Разделим обе части на sqrt(2) != 0 : cos x - sin x = 0, cos x = sin x. Заметим, что cos x = 0 корнем быть не может: при cos x = 0 из равенства следовало бы sin x = 0 , что невозможно, так как sin^2 x + cos^2 x = 1 . Поэтому можно разделить обе части равенства на cos x != 0 : 1 = tg x <=> tg x = 1. Отсюда получаем серию корней: x = (pi)/(4) + pi n, n in Z. **б)** Отберём корни, принадлежащие отрезку [(pi)/(2);2pi] . Решим двойное неравенство: (pi)/(2) (pi)/(4) + pi n 2pi. Разделим все части на pi : (1)/(2) (1)/(4) + n 2. Вычтем (1)/(4) : (1)/(4) n (7)/(4). Единственное целое значение в этом промежутке — это n = 1 . При n = 1 получаем: x = (pi)/(4) + pi = (5pi)/(4). Проверим: (pi)/(2) = (2pi)/(4) ~ 1,57 , (5pi)/(4) ~ 3,93 , 2pi ~ 6,28 , и действительно (pi)/(2) (5pi)/(4) 2pi . Таким образом, отрезку [(pi)/(2);2pi] принадлежит единственный корень (5pi)/(4) . Ответ: а) (pi)/(4) + pi n, n in Z ; б) (5pi)/(4) .

а) \(\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\); б) \(\dfrac{5\pi}{4}\)