Имеется 1000 монет, среди которых n монет достоинством 2 рубля и (1000−n) монет достоинством 5 рублей (n — целое число, 0≤n≤1000). Известно, что сумма любых 300 монет, взятых случайным образом, превышает четверть от общей суммы всех монет.
а) Возможно ли, что n=100?
б) Возможно ли, что n=500?
в) Сколько различных значений может принимать n?
Пусть среди монет n двухрублёвых и 1000−n пятирублёвых. Общая сумма
S=2n+5(1000−n)=5000−3n,4S=45000−3n.Условие «сумма любых 300 монет больше четверти общей суммы» равносильно тому, что больше 4S оказывается даже наименьшая возможная сумма 300 монет. Наименьшая сумма достигается, когда берём как можно больше дешёвых (двухрублёвых) монет.
Обозначим через m минимальную сумму 300 монет.
Если n≥300, то можно взять 300 двухрублёвых монет, и
m=2⋅300=600.Если n<300, то берём все n двухрублёвых и ещё 300−n пятирублёвых монет:
m=2n+5(300−n)=1500−3n.Условие задачи: m>4S.
а) Пусть n=100<300. Тогда
m=1500−3⋅100=1200,4S=45000−300=44700=1175.Так как 1200>1175, условие выполнено. Значит, n=100 возможно. Ответ: да.
б) Пусть n=500≥300. Тогда
m=600,4S=45000−1500=43500=875.Так как 600<875, найдутся 300 монет (например, все 300 двухрублёвых) с суммой меньше четверти общей. Условие нарушено. Значит, n=500 невозможно. Ответ: нет.
в) Найдём все подходящие n.
Случай n≤300. Неравенство 1500−3n>45000−3n:
4(1500−3n)>5000−3n,6000−12n>5000−3n,1000>9n,n<91000=11191.Значит, подходят целые n=0,1,…,111 (все они ≤300).
Случай n≥300. Неравенство 600>45000−3n:
2400>5000−3n,3n>2600,n>32600=86632.Значит, подходят целые n=867,868,…,1000.
При 112≤n≤866 подходящих значений нет (проверка обеих границ: при n=112 и при n=866 неравенства уже не выполняются).
Итак, множество значений: n∈{0,1,…,111}∪{867,868,…,1000}. Их количество
(111−0+1)+(1000−867+1)=112+134=246.Ответ: 246.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
sdamex