Имеется 1000 монет, среди которых n монет достоинством 2 рубля и (1000-n) монет достоинством 5 рублей (n — целое число, 0<= n<= 1000). Известно, что сумма любых 300 монет, взятых случайным образом, превышает четверть от общей суммы всех монет. а) Возможно ли, что n=100? б) Возможно ли, что n=500? в) Сколько различных значений может принимать n?

Пусть среди монет n двухрублёвых и 1000-n пятирублёвых. Общая сумма S=2n+5(1000-n)=5000-3n, (S)/(4)=(5000-3n)/(4). Условие «сумма любых 300 монет больше четверти общей суммы» равносильно тому, что больше (S)/(4) оказывается даже наименьшая возможная сумма 300 монет. Наименьшая сумма достигается, когда берём как можно больше дешёвых (двухрублёвых) монет. Обозначим через m минимальную сумму 300 монет. Если n>= 300, то можно взять 300 двухрублёвых монет, и m=2* 300=600. Если n<300, то берём все n двухрублёвых и ещё 300-n пятирублёвых монет: m=2n+5(300-n)=1500-3n. Условие задачи: m>(S)/(4). а) Пусть n=100<300. Тогда m=1500-3* 100=1200, (S)/(4)=(5000-300)/(4)=(4700)/(4)=1175. Так как 1200>1175, условие выполнено. Значит, n=100 возможно. Ответ: да. б) Пусть n=500>= 300. Тогда m=600, (S)/(4)=(5000-1500)/(4)=(3500)/(4)=875. Так как 600<875, найдутся 300 монет (например, все 300 двухрублёвых) с суммой меньше четверти общей. Условие нарушено. Значит, n=500 невозможно. Ответ: нет. в) Найдём все подходящие n. Случай n<= 300. Неравенство 1500-3n>(5000-3n)/(4): 4(1500-3n)>5000-3n, 6000-12n>5000-3n, 1000>9n, n<(1000)/(9)=111(1)/(9). Значит, подходят целые n=0,1,,111 (все они <= 300). Случай n>= 300. Неравенство 600>(5000-3n)/(4): 2400>5000-3n, 3n>2600, n>(2600)/(3)=866(2)/(3). Значит, подходят целые n=867,868,,1000. При 112<= n<= 866 подходящих значений нет (проверка обеих границ: при n=112 и при n=866 неравенства уже не выполняются). Итак, множество значений: nin0,1,,111U867,868,,1000. Их количество (111-0+1)+(1000-867+1)=112+134=246. Ответ: 246.

а) да; б) нет; в) 246