На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее или равное -30. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 3. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт. а) Может ли количество синих карт быть равным 1? б) Может ли количество синих карт быть равным 40? в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через b количество синих карт, а через r — количество красных карт. Синие карты несут различные целые числа, делящиеся на 5, каждое из которых не меньше -30. По условию наибольшее число на синей карте равно количеству красных карт, то есть равно r. Поскольку это число делится на 5, то r кратно 5. Красные карты несут различные целые числа, делящиеся на 3, каждое из которых не меньше -30. Наибольшее число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, то есть равно 3b. Получим два ограничения. Все синие числа — это различные кратные 5 из отрезка [-30;r] (число r кратно 5 и является наибольшим из них). Кратных 5 на этом отрезке ровно (r-(-30))/(5)+1=(r)/(5)+7. Значит, синих карт не больше, чем доступных значений: b<= (r)/(5)+7. Все красные числа — это различные кратные 3 из отрезка [-30;3b] (число 3b кратно 3 и является наибольшим). Кратных 3 на этом отрезке ровно (3b-(-30))/(3)+1=b+11. Значит, r<= b+11. а) Покажем, что b=1 возможно. Возьмём одну синюю карту с числом 5. Тогда наибольшее синее число равно 5, и оно должно равняться количеству красных карт, поэтому r=5. Наибольшее красное число равно 3b=3. Возьмём пять красных карт с числами -9,-6,-3,0,3: это различные кратные 3, все не меньше -30, а наибольшее из них равно 3=3* 1. Условия выполнены, значит, количество синих карт может равняться 1. Ответ: да. б) Покажем, что b=40 невозможно. Подставим b=40 в неравенство b<= (r)/(5)+7: 40<= (r)/(5)+7 => (r)/(5)>= 33 => r>= 165. С другой стороны, r<= b+11=40+11=51. Получаем противоречие 165<= r<= 51, которое невозможно. Значит, количество синих карт не может равняться 40. Ответ: нет. в) Найдём наибольшее возможное b. Из неравенств b<= (r)/(5)+7 и r<= b+11 получаем b<= (r)/(5)+7<= (b+11)/(5)+7. Умножим на 5: 5b<= b+11+35=b+46 => 4b<= 46 => b<= 11,5, то есть b<= 11. Покажем, что b=11 достижимо. Возьмём r=20 (это кратно 5). Синие карты: 11 различных кратных 5 из отрезка [-30;20], а именно -30,-25,-20,-15,-10,-5,0,5,10,15,20. Их ровно 11, наибольшее равно 20=r — количеству красных карт. Красные карты: 20 различных кратных 3 из отрезка [-30;33], например -24,-21,-18,-15,-12,-9,-6,-3,0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33. Их ровно 20=r, наибольшее равно 33=3* 11=3b. Все условия выполнены. Следовательно, наибольшее количество синих карт равно 11.

а) да; б) нет; в) 11