На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее или равное -36. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 3, а на всех красных — на 2. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт. а) Может ли количество синих карт быть равным 1? б) Может ли количество синих карт быть равным 50? в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через b количество синих карт, через r — количество красных. Синие карты: на них различные целые числа, кратные 3, каждое не меньше -36; наибольшее из них по условию равно r. Красные карты: на них различные целые чётные числа, каждое не меньше -36; наибольшее равно 2b. Из того, что наибольшее синее число равно r и кратно 3, следует r 3. Оценим количества. Различные синие числа лежат в отрезке [-36;r] и кратны 3; таких чисел не больше, чем всего кратных 3 на этом отрезке, то есть b<= (r-(-36))/(3)+1=(r)/(3)+13. Различные красные числа лежат в [-36;2b] и чётны; их не больше, чем всего чётных на отрезке: r<= (2b-(-36))/(2)+1=b+19. а) Возьмём b=1. Тогда нужно одно синее число, равное r, причём r кратно 3; пусть r=3 (одна синяя карта с числом 3). Красных карт r=3, наибольшее красное равно 2b=2; подойдут числа -2;0;2 — три различных чётных, наибольшее 2. Все условия выполнены, поэтому количество синих карт может быть равно 1. Ответ: да. б) Пусть b=50. Из b<= (r)/(3)+13 получаем 50<= (r)/(3)+13, то есть (r)/(3)>= 37, откуда r>= 111. Но r<= b+19=69. Противоречие 111<= r<= 69 невозможно, значит b=50 недостижимо. Ответ: нет. в) Подставим r<= b+19 в первое неравенство: b<= (r)/(3)+13<= (b+19)/(3)+13=(b+58)/(3), откуда 3b<= b+58, то есть 2b<= 58 и b<= 29. Покажем достижимость b=29. Из 29<= (r)/(3)+13 следует r>= 48, а из r<= b+19=48 следует r<= 48; значит r=48 (кратно 3). Синие числа: все кратные 3 на [-36;48], то есть -36;-33;;48 — их ровно (48+36)/(3)+1=29, наибольшее 48=r. Красные числа: все чётные на [-36;58], то есть -36;-34;;58 — их ровно (58+36)/(2)+1=48=r, наибольшее 58=2* 29=2b. Все условия выполнены. Следовательно, наибольшее количество синих карт равно 29.

а) да; б) нет; в) 29