Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
sdamex
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(x2+x)a2+2(x4+x3−x−1)a−4x3−4x2=0имеет ровно два различных корня.
Разложим левую часть на множители. Заметим, что
x4+x3−x−1=x3(x+1)−(x+1)=(x+1)(x3−1),а также x2+x=x(x+1) и 4x3+4x2=4x2(x+1). Поэтому из каждого слагаемого выносится (x+1):
(x+1)[xa2+2(x3−1)a−4x2]=0.Разложим квадратный по a трёхчлен в скобке. Проверим, что
xa2+2(x3−1)a−4x2=(ax−2)(a+2x2),действительно, раскрывая правую часть: a2x+2x3a−2a−4x2=xa2+2(x3−1)a−4x2. Таким образом уравнение равносильно
(x+1)(ax−2)(a+2x2)=0.Корни ищем из трёх множителей.
1) x+1=0 даёт x=−1 при любом a.
2) ax−2=0: при a=0 даёт x=a2; при a=0 корней нет.
3) a+2x2=0, то есть x2=−2a: при a>0 корней нет; при a=0 даёт x=0; при a<0 даёт x=±−2a.
Рассмотрим случаи по знаку a.
Случай a>0. Из третьего множителя корней нет, поэтому есть только x=−1 и x=a2>0. Они различны (положительное число не равно −1). Получаем ровно два корня — подходит.
Случай a=0. Второй множитель корней не даёт, остаются x=−1 и x=0 — ровно два различных корня. Подходит.
Случай a<0. Теперь имеются четыре кандидата:
x=−1,x=a2<0,x=s:=−2a>0,x=−s<0.Корень s>0 не совпадает ни с −1, ни с a2, ни с −s (так как s=0). Значит из четырёх чисел уже два различны: s и какое-то отрицательное. Чтобы корней было ровно два, оставшиеся три отрицательных числа −1, a2, −s должны слиться в одно. Приравнивая их попарно:
a2=−1 ⇒ a=−2,−1=−s ⇒ s=1 ⇒ −2a=1 ⇒ a=−2,a2=−s ⇒ a=−2.Все три условия выполняются одновременно лишь при a=−2. При a=−2 имеем a2=−1, s=1, −s=−1, то есть множество корней {−1, 1} — ровно два различных корня. Подходит.
При любом другом a<0 (a=−2) все три отрицательных числа −1, a2, −s попарно различны (так как совпадение каждой пары влечёт a=−2), и вместе с положительным s дают четыре различных корня — не подходит.
Объединяя случаи: ровно два различных корня уравнение имеет при a≥0 и при a=−2.
Ответ: a∈{−2}∪[0;+∞).