Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x^(2)+x)a^(2)+2(x^(4)+x^(3)-x-1)a-4x^(3)-4x^(2)=0 имеет ровно два различных корня.

Разложим левую часть на множители. Заметим, что x^(4)+x^(3)-x-1=x^(3)(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^(3)-1), а также x^(2)+x=x(x+1) и 4x^(3)+4x^(2)=4x^(2)(x+1). Поэтому из каждого слагаемого выносится (x+1): (x+1)[xa^(2)+2(x^(3)-1)a-4x^(2)]=0. Разложим квадратный по a трёхчлен в скобке. Проверим, что xa^(2)+2(x^(3)-1)a-4x^(2)=(ax-2)(a+2x^(2)), действительно, раскрывая правую часть: a^(2)x+2x^(3)a-2a-4x^(2)=xa^(2)+2(x^(3)-1)a-4x^(2). Таким образом уравнение равносильно (x+1)(ax-2)(a+2x^(2))=0. Корни ищем из трёх множителей. 1) x+1=0 даёт x=-1 при любом a. 2) ax-2=0: при a!= 0 даёт x=(2)/(a); при a=0 корней нет. 3) a+2x^(2)=0, то есть x^(2)=-(a)/(2): при a>0 корней нет; при a=0 даёт x=0; при a<0 даёт x=+-sqrt(-(a)/(2)). Рассмотрим случаи по знаку a. Случай a>0. Из третьего множителя корней нет, поэтому есть только x=-1 и x=(2)/(a)>0. Они различны (положительное число не равно -1). Получаем ровно два корня — подходит. Случай a=0. Второй множитель корней не даёт, остаются x=-1 и x=0 — ровно два различных корня. Подходит. Случай a<0. Теперь имеются четыре кандидата: x=-1, x=(2)/(a)<0, x=s:=sqrt(-(a)/(2))>0, x=-s<0. Корень s>0 не совпадает ни с -1, ни с (2)/(a), ни с -s (так как s!= 0). Значит из четырёх чисел уже два различны: s и какое-то отрицательное. Чтобы корней было ровно два, оставшиеся три отрицательных числа -1, (2)/(a), -s должны слиться в одно. Приравнивая их попарно: (2)/(a)=-1 => a=-2, -1=-s => s=1 => -(a)/(2)=1 => a=-2, (2)/(a)=-s => a=-2. Все три условия выполняются одновременно лишь при a=-2. При a=-2 имеем (2)/(a)=-1, s=1, -s=-1, то есть множество корней -1, 1 — ровно два различных корня. Подходит. При любом другом a<0 (a!=-2) все три отрицательных числа -1, (2)/(a), -s попарно различны (так как совпадение каждой пары влечёт a=-2), и вместе с положительным s дают четыре различных корня — не подходит. Объединяя случаи: ровно два различных корня уравнение имеет при a>= 0 и при a=-2. Ответ: ain-2U[0;+inf).

\(a\in\{-2\}\cup[0;+\infty)\)