Задача №17489

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$a^2(x^2-x)+a\left(x^4-x^3-x+1\right)-x^3+x^2=0$$

имеет ровно два различных корня.

Преобразуем уравнение, сгруппировав по степеням параметра $a\text{.}$ Коэффициенты при степенях $a$ разложим на множители.

При $a^2\text{:}$ $x^2-x=x(x-1)\text{.}$

При $a\text{:}$ $x^4-x^3-x+1=x^3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^3-1)=(x-1{)}^2(x^2+x+1)\text{.}$

Свободный член: $-x^3+x^2=-x^2(x-1)\text{.}$

Видно, что во всех слагаемых есть множитель $(x-1)\text{:}$

$$(x-1)[a^{2}x+a(x-1)(x^2+x+1)-x^2]=0,$$

а так как $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1\text{,}$ внутренняя скобка равна

$$a^{2}x+a(x^3-1)-x^2=ax(a+x^2)-(a+x^2)=(a+x^2)(ax-1).$$

Итак, уравнение равносильно

$$(x-1)(ax-1)(x^2+a)=0.$$

Разберём, какие различные корни даёт каждый множитель.

Множитель $x-1$ даёт корень $x=1$ при любом $a\text{.}$

Множитель $ax-1\text{:}$ при $a\ne 0$ даёт $x=\frac{1}{a}\text{;}$ при $a=0$ множитель равен $-1$ и корней не даёт.

Множитель $x^2+a\text{:}$ при $a<0$ даёт два корня $x=\pm \sqrt{-a}\text{;}$ при $a=0$ даёт $x=0\text{;}$ при $a>0$ корней не даёт.

Теперь подсчитаем число различных корней по случаям.

Случай $a>0\text{.}$ Корни: $1$ и $\frac{1}{a}\text{.}$ Они различны, кроме $\frac{1}{a}=1\text{,}$ то есть $a=1\text{.}$ Значит при $a>0,a\ne 1$ ровно два корня, а при $a=1$ корень один ($x=1$). Подходит $a\in (0;1)\cup (1;+\infty )\text{.}$

Случай $a=0\text{.}$ Уравнение принимает вид $(x-1)\cdot (-1)\cdot x^2=0\text{,}$ корни $x=1$ и $x=0$ — ровно два различных корня. Значит $a=0$ подходит.

Случай $a<0\text{.}$ Корни — числа из набора $1,\frac{1}{a},\sqrt{-a},-\sqrt{-a}$ (последние два обозначим $s=\sqrt{-a}>0$ и $-s$). В общем случае это четыре разных числа. Найдём, когда они сливаются так, чтобы осталось ровно два.

Сравним возможные совпадения:
$1=\frac{1}{a}$ даёт $a=1$ — не из $a<0\text{;}$
$1=s$ даёт $\sqrt{-a}=1\text{,}$ то есть $a=-1\text{;}$
$1=-s$ невозможно, так как $s>0\text{;}$
$\frac{1}{a}=s$ невозможно: при $a<0$ левая часть отрицательна, правая положительна;
$\frac{1}{a}=-s$ даёт $\frac{1}{a}=-\sqrt{-a}\Rightarrow \frac{1}{a^2}=-a\Rightarrow a^3=-1\Rightarrow a=-1\text{.}$

Таким образом единственная точка склейки при $a<0$ — это $a=-1\text{.}$ Подставим: $s=\sqrt{1}=1\text{,}$ $\frac{1}{a}=-1\text{,}$ и набор $\{1,-1,1,-1\}$ даёт ровно два различных корня $\{1,-1\}\text{.}$

При любом другом $a<0$ все четыре числа дают не менее трёх различных значений (можно убедиться: при $a\ne -1$ совпасть может лишь пара $1$ с $s$ либо $\frac{1}{a}$ с $-s\text{,}$ но обе требуют именно $a=-1$), поэтому корней больше двух — не подходит.

Объединяя все случаи, получаем

$$a\in \{-1\}\cup [0;1)\cup (1;+\infty ).$$