Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a^(2)(x^(2)-x)+a(x^(4)-x^(3)-x+1)-x^(3)+x^(2)=0 имеет ровно два различных корня.

Преобразуем уравнение, сгруппировав по степеням параметра a. Коэффициенты при степенях a разложим на множители. При a^2: x^2-x=x(x-1). При a: x^4-x^3-x+1=x^3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^3-1)=(x-1)^2(x^2+x+1). Свободный член: -x^3+x^2=-x^2(x-1). Видно, что во всех слагаемых есть множитель (x-1): (x-1)[a^2x+a(x-1)(x^2+x+1)-x^2]=0, а так как (x-1)(x^2+x+1)=x^3-1, внутренняя скобка равна a^2x+a(x^3-1)-x^2=ax(a+x^2)-(a+x^2)=(a+x^2)(ax-1). Итак, уравнение равносильно (x-1)(ax-1)(x^2+a)=0. Разберём, какие различные корни даёт каждый множитель. Множитель x-1 даёт корень x=1 при любом a. Множитель ax-1: при a!= 0 даёт x=1a; при a=0 множитель равен -1 и корней не даёт. Множитель x^2+a: при a<0 даёт два корня x=+-sqrt(-a); при a=0 даёт x=0; при a>0 корней не даёт. Теперь подсчитаем число различных корней по случаям. Случай a>0. Корни: 1 и 1a. Они различны, кроме 1a=1, то есть a=1. Значит при a>0, a1 ровно два корня, а при a=1 корень один (x=1). Подходит ain(0;1)U(1;+inf). Случай a=0. Уравнение принимает вид (x-1)*(-1)* x^2=0, корни x=1 и x=0 — ровно два различных корня. Значит a=0 подходит. Случай a<0. Корни — числа из набора 1, 1a, sqrt(-a), -sqrt(-a) (последние два обозначим s=sqrt(-a)>0 и -s). В общем случае это четыре разных числа. Найдём, когда они сливаются так, чтобы осталось ровно два. Сравним возможные совпадения: 1=1a даёт a=1 — не из a<0; 1=s даёт sqrt(-a)=1, то есть a=-1; 1=-s невозможно, так как s>0; 1a=s невозможно: при a<0 левая часть отрицательна, правая положительна; 1a=-s даёт 1a=-sqrt(-a)=> 1a^2=-a=> a^3=-1=> a=-1. Таким образом единственная точка склейки при a<0 — это a=-1. Подставим: s=sqrt(1)=1, 1a=-1, и набор 1,-1,1,-1 даёт ровно два различных корня 1,-1. При любом другом a<0 все четыре числа дают не менее трёх различных значений (можно убедиться: при a!=-1 совпасть может лишь пара 1 с s либо 1a с -s, но обе требуют именно a=-1), поэтому корней больше двух — не подходит. Объединяя все случаи, получаем ain-1U[0;1)U(1;+inf).

\(a\in\{-1\}\cup[0;1)\cup(1;+\infty)\)