Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ax^4-x^3+(a^3-a)x^2-(a^2-1)x=ax^3-x^2+(a^3-a)x-a^2+1 имеет ровно 2 различных решения.

Перенесём всё в левую часть и разложим выражение на множители. Имеем уравнение ax^4-x^3+(a^3-a)x^2-(a^2-1)x=ax^3-x^2+(a^3-a)x-a^2+1. Перенесём правую часть влево и сгруппируем. Удобно заметить, что правая часть раскладывается так: ax^3-x^2+(a^3-a)x-(a^2-1)=(ax-1)(x^2+a^2-1), а левая часть отличается от неё множителем x в первых трёх слагаемых; аккуратная группировка даёт (левая)-(правая)=(x-1)(ax-1)(x^2+a^2-1). (Это разложение проверяется прямым раскрытием скобок.) Таким образом, исходное уравнение равносильно (x-1)(ax-1)(x^2+a^2-1)=0. Разберём три множителя. Первый множитель даёт корень x=1 при любом a. Второй множитель ax-1=0: при a!= 0 даёт x=1a, а при a=0 обращается в -10 и корня не даёт. Третий множитель x^2=1-a^2: при |a|<1 даёт два корня x=+-sqrt(1-a^2); при |a|=1 даёт один корень x=0; при |a|>1 корней нет (1-a^2<0). Теперь подсчитаем число различных корней по случаям. Случай |a|>1 (то есть a<-1 или a>1). Третий множитель корней не даёт. Остаются x=1 и x=1a. Так как |a|>1, то 1a!= 1 (равенство означало бы a=1). Значит, ровно два различных корня. Подходит. Случай a=0. Второй множитель корня не даёт; третий даёт x^2=1, то есть x=+-1. Вместе с x=1 получаем множество 1;-1 — ровно два корня. Подходит. Случай 0<|a|<1. Корнями являются x=1, x=1a (причём |1a|>1, значит 1a!=+-1 и 1a1) и x=+-sqrt(1-a^2)in(-1;1). Все четыре числа различны (значения +-sqrt(1-a^2) лежат строго между -1 и 1, а 1a — вне этого отрезка). Получается четыре различных корня. Не подходит. Случай a=1. Тогда 1a=1 совпадает с корнем x=1, а третий множитель даёт x^2=1-1=0, то есть x=0. Множество корней 1;0 — ровно два. Подходит. Случай a=-1. Тогда 1a=-1, а третий множитель даёт x=0. Корни 1;-1;0 — их три. Не подходит. Объединяя подходящие случаи (a<-1; a=0; a=1; a>1), получаем ответ ain(-inf;-1)U0U[1;+inf).

\(a\in(-\infty;-1)\cup\{0\}\cup[1;+\infty)\)