Задача №17488

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$a{x}^4-x^3+(a^3-a)x^2-(a^2-1)x=a{x}^3-x^2+(a^3-a)x-a^2+1$$

имеет ровно 2 различных решения.

Перенесём всё в левую часть и разложим выражение на множители. Имеем уравнение

$$a{x}^4-x^3+(a^3-a)x^2-(a^2-1)x=a{x}^3-x^2+(a^3-a)x-a^2+1.$$

Перенесём правую часть влево и сгруппируем. Удобно заметить, что правая часть раскладывается так:

$$a{x}^3-x^2+(a^3-a)x-(a^2-1)=(ax-1)(x^2+a^2-1),$$

а левая часть отличается от неё множителем $x$ в первых трёх слагаемых; аккуратная группировка даёт

$$\text{(левая)}-\text{(правая)}=(x-1)(ax-1)(x^2+a^2-1).$$

(Это разложение проверяется прямым раскрытием скобок.) Таким образом, исходное уравнение равносильно

$$(x-1)(ax-1)(x^2+a^2-1)=0.$$

Разберём три множителя.

Первый множитель даёт корень $x=1$ при любом $a\text{.}$

Второй множитель $ax-1=0\text{:}$ при $a\ne 0$ даёт $x=\frac{1}{a}\text{,}$ а при $a=0$ обращается в $-1\ne 0$ и корня не даёт.

Третий множитель $x^2=1-a^2\text{:}$ при $|a|<1$ даёт два корня $x=\pm \sqrt{1-a^2}\text{;}$ при $|a|=1$ даёт один корень $x=0\text{;}$ при $|a|>1$ корней нет ($1-a^2<0$).

Теперь подсчитаем число различных корней по случаям.

Случай $|a|>1$ (то есть $a<-1$ или $a>1$). Третий множитель корней не даёт. Остаются $x=1$ и $x=\frac{1}{a}\text{.}$ Так как $|a|>1\text{,}$ то $\frac{1}{a}\ne 1$ (равенство означало бы $a=1$). Значит, ровно два различных корня. Подходит.

Случай $a=0\text{.}$ Второй множитель корня не даёт; третий даёт $x^2=1\text{,}$ то есть $x=\pm 1\text{.}$ Вместе с $x=1$ получаем множество $\{1;-1\}$ — ровно два корня. Подходит.

Случай $0<|a|<1\text{.}$ Корнями являются $x=1\text{,}$ $x=\frac{1}{a}$ (причём $\left|\frac{1}{a}\right|>1\text{,}$ значит $\frac{1}{a}\ne \pm 1$ и $\frac{1}{a}\ne 1$) и $x=\pm \sqrt{1-a^2}\in (-1;1)\text{.}$ Все четыре числа различны (значения $\pm \sqrt{1-a^2}$ лежат строго между $-1$ и $1\text{,}$ а $\frac{1}{a}$ — вне этого отрезка). Получается четыре различных корня. Не подходит.

Случай $a=1\text{.}$ Тогда $\frac{1}{a}=1$ совпадает с корнем $x=1\text{,}$ а третий множитель даёт $x^2=1-1=0\text{,}$ то есть $x=0\text{.}$ Множество корней $\{1;0\}$ — ровно два. Подходит.

Случай $a=-1\text{.}$ Тогда $\frac{1}{a}=-1\text{,}$ а третий множитель даёт $x=0\text{.}$ Корни $\{1;-1;0\}$ — их три. Не подходит.

Объединяя подходящие случаи ($a<-1\text{;}$ $a=0\text{;}$ $a=1\text{;}$ $a>1$), получаем ответ

$$a\in (-\infty ;-1)\cup \{0\}\cup [1;+\infty ).$$