Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(x−1)a2−x(x2−1)a+x4−2x2+1=0имеет ровно два решения.
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно параметра a:
(x−1)a2−x(x2−1)a+(x4−2x2+1)=0.Заметим, что свободный член есть полный квадрат: x4−2x2+1=(x2−1)2=(x−1)2(x+1)2, а коэффициент при a равен −x(x−1)(x+1).
Если x=1, то коэффициент при a2, коэффициент при a и свободный член обращаются в нуль, поэтому равенство выполняется при любом a. Значит, x=1 — решение при всех значениях параметра.
Пусть x=1. Разделив на (x−1), получаем квадратное относительно a уравнение
a2−x(x+1)a+(x−1)(x+1)2=0.Его дискриминант
D=x2(x+1)2−4(x−1)(x+1)2=(x+1)2(x2−4x+4)=(x+1)2(x−2)2≥0.Отсюда
a=2x(x+1)±(x+1)(x−2),то есть
a1=2(x+1)(2x−2)=(x+1)(x−1)=x2−1,a2=2(x+1)⋅2=x+1.Таким образом, исходное уравнение равносильно разложению
(x−1)(a−(x2−1))(a−(x+1))=0.Значит, при фиксированном a множество решений по x есть объединение корней трёх условий:
x=1,x=a−1 (из a=x+1),x2=a+1 (из a=x2−1).Первое всегда даёт x=1; второе всегда даёт ровно одно значение x=a−1. Число корней условия x2=a+1 зависит от a:
a<−1: нет корней;a=−1: один корень x=0;a>−1: два корня x=±a+1.Подсчитаем число различных решений x.
Случай a<−1. Множество решений {1,a−1}. Здесь a−1<−2=1, значит элементы различны и решений ровно два. Подходит.
Случай a=−1. Множество {1,−2,0} — три различных решения. Не подходит.
Случай a>−1. Множество {1,a−1,a+1,−a+1}, причём a+1=−a+1. Чтобы различных решений было ровно два, оба числа 1 и a−1 должны совпадать с ±a+1 (других кандидатов нет). Тогда 1 и a−1 — это два разных корня квадрата, их сумма равна 1+(a−1)=a; но сумма корней a+1+(−a+1)=0, значит a=0.
Проверка a=0: x2=1⇒x=±1, а a−1=−1. Множество решений {1,−1} — ровно два. Подходит.
Убедимся, что при остальных a>−1 решений больше двух: например, при a=2 получаем {1,3,−3} (три), при a=3 — {1,2,−2} (три), при прочих значениях все четыре числа различны (четыре решения). Итак, среди a>−1 условию удовлетворяет только a=0.
Объединяя случаи, ровно два решения уравнение имеет при
a∈(−∞;−1)∪{0}.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
sdamex