Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x-1)a^(2)-x(x^(2)-1)a+x^(4)-2x^(2)+1=0 имеет ровно два решения.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно параметра a: (x-1)a^(2)-x(x^(2)-1)a+(x^(4)-2x^(2)+1)=0. Заметим, что свободный член есть полный квадрат: x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2, а коэффициент при a равен -x(x-1)(x+1). Если x=1, то коэффициент при a^2, коэффициент при a и свободный член обращаются в нуль, поэтому равенство выполняется при любом a. Значит, x=1 — решение при всех значениях параметра. Пусть x1. Разделив на (x-1), получаем квадратное относительно a уравнение a^(2)-x(x+1)a+(x-1)(x+1)^(2)=0. Его дискриминант D=x^(2)(x+1)^(2)-4(x-1)(x+1)^(2)=(x+1)^(2)(x^(2)-4x+4)=(x+1)^(2)(x-2)^(2)0. Отсюда a=(x(x+1)+-(x+1)(x-2))/(2), то есть a_1=((x+1)(2x-2))/(2)=(x+1)(x-1)=x^(2)-1, a_2=((x+1)*2)/(2)=x+1. Таким образом, исходное уравнение равносильно разложению (x-1)(a-(x^(2)-1))(a-(x+1))=0. Значит, при фиксированном a множество решений по x есть объединение корней трёх условий: x=1, x=a-1 (из a=x+1), x^(2)=a+1 (из a=x^(2)-1). Первое всегда даёт x=1; второе всегда даёт ровно одно значение x=a-1. Число корней условия x^2=a+1 зависит от a: a<-1: нет корней; a=-1: один корень x=0; a>-1: два корня x=+-sqrt(a+1). Подсчитаем число различных решений x. Случай a<-1. Множество решений 1,a-1. Здесь a-1<-21, значит элементы различны и решений ровно два. Подходит. Случай a=-1. Множество 1,-2,0 — три различных решения. Не подходит. Случай a>-1. Множество 1,a-1,sqrt(a+1),-sqrt(a+1), причём sqrt(a+1)!=-sqrt(a+1). Чтобы различных решений было ровно два, оба числа 1 и a-1 должны совпадать с +-sqrt(a+1) (других кандидатов нет). Тогда 1 и a-1 — это два разных корня квадрата, их сумма равна 1+(a-1)=a; но сумма корней sqrt(a+1)+(-sqrt(a+1))=0, значит a=0. Проверка a=0: x^2=1=> x=+-1, а a-1=-1. Множество решений 1,-1 — ровно два. Подходит. Убедимся, что при остальных a>-1 решений больше двух: например, при a=2 получаем 1,3,-3 (три), при a=3 — 1,2,-2 (три), при прочих значениях все четыре числа различны (четыре решения). Итак, среди a>-1 условию удовлетворяет только a=0. Объединяя случаи, ровно два решения уравнение имеет при ain(-inf;-1)U0.

\(a\in(-\infty;-1)\cup\{0\}\)