Задача №17484

Решите неравенство

$$3^{{\log }_3\left({\log }_{3}x\right)}+{\log }_{\frac{1}{9}}^{2}x-8\le 0.$$

Решим неравенство

$$3^{{\log }_3\left({\log }_{3}x\right)}+{\log }_{1/9}^{2}x-8\le 0.$$

Область допустимых значений. Внутренний логарифм требует $x>0\text{.}$ Аргумент внешнего логарифма должен быть положителен: ${\log }_{3}x>0\text{,}$ то есть $x>1\text{.}$ Итак, ОДЗ: $x>1$ (при этом ${\log }_{3}x>0$).

Упростим слагаемые. По основному логарифмическому тождеству при ${\log }_{3}x>0$

$$3^{{\log }_3\left({\log }_{3}x\right)}={\log }_{3}x.$$

Далее, переходя к основанию $3\text{,}$

$${\log }_{1/9}x=\frac{{\log }_{3}x}{{\log }_3\frac{1}{9}}=\frac{{\log }_{3}x}{-2}=-\frac{1}{2}{\log }_{3}x,$$

поэтому

$${\log }_{1/9}^{2}x=\frac{1}{4}{\log }_3^{2}x.$$

Подставив, получаем

$${\log }_{3}x+\frac{1}{4}{\log }_3^{2}x-8\le 0.$$

Замена. Пусть $u={\log }_{3}x\text{,}$ причём по ОДЗ $u>0\text{.}$ Тогда

$$u+\frac{u^2}{4}-8\le 0⟺u^2+4u-32\le 0.$$

Корни квадратного трёхчлена: $u=-8$ и $u=4\text{,}$ значит

$$(u+8)(u-4)\le 0⟺-8\le u\le 4.$$

С учётом ограничения $u>0$ получаем $0<u\le 4\text{,}$ то есть

$$0<{\log }_{3}x\le 4⟺1<x\le 81.$$

Ответ: $x\in (1;81]\text{.}$