Задача №17483

Решите неравенство

$${\log }_4^{2}x+2^{{\log }_2\left({\log }_{2}x\right)}-3\le 0.$$

Решим неравенство ${\log }_4^{2}x+2^{{\log }_2({\log }_{2}x)}-3\le 0\text{.}$

ОДЗ. В выражении присутствует ${\log }_2({\log }_{2}x)\text{,}$ поэтому требуется ${\log }_{2}x>0\text{,}$ то есть $x>1$ (при этом и $x>0$ выполнено автоматически).

Упростим слагаемые. По основному логарифмическому тождеству $2^{{\log }_{2}t}=t$ для $t>0\text{.}$ Здесь $t={\log }_{2}x>0$ (по ОДЗ), поэтому

$$2^{{\log }_2({\log }_{2}x)}={\log }_{2}x.$$

Кроме того, ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{2}\text{,}$ значит ${\log }_4^{2}x=\frac{{\log }_2^{2}x}{4}\text{.}$

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\log }_2^{2}x}{4}+{\log }_{2}x-3\le 0.$$

Замена. Пусть $u={\log }_{2}x\text{,}$ где по ОДЗ $u>0\text{.}$ Получаем

$$\frac{u^2}{4}+u-3\le 0⟺u^2+4u-12\le 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: корни $u=2$ и $u=-6\text{,}$ поэтому

$$(u-2)(u+6)\le 0⟺-6\le u\le 2.$$

Учёт ОДЗ. Поскольку $u>0\text{,}$ пересечение с $[-6;2]$ даёт

$$0<u\le 2,\text{то есть}0<{\log }_{2}x\le 2.$$

Отсюда $1<x\le 4\text{.}$

Ответ: $x\in (1;4]\text{.}$