Решите неравенство _4^(2)x+2^(_2(_2 x))-3<= 0.

Решим неравенство _4^(2)x+2^(_2(_2 x))-3<= 0. ОДЗ. В выражении присутствует _2(_2 x), поэтому требуется _2 x>0, то есть x>1 (при этом и x>0 выполнено автоматически). Упростим слагаемые. По основному логарифмическому тождеству 2^(_2 t)=t для t>0. Здесь t=_2 x>0 (по ОДЗ), поэтому 2^(_2(_2 x))=_2 x. Кроме того, _4 x=(_2 x)/(2), значит _4^(2)x=(_2^(2)x)/(4). Неравенство принимает вид (_2^(2)x)/(4)+_2 x-3<= 0. Замена. Пусть u=_2 x, где по ОДЗ u>0. Получаем (u^(2))/(4)+u-3<= 0 ^(2)+4u-12<= 0. Разложим квадратный трёхчлен: корни u=2 и u=-6, поэтому (u-2)(u+6)<= 0 -6<= u<= 2. Учёт ОДЗ. Поскольку u>0, пересечение с [-6;2] даёт 0<u<= 2, то есть 0<_2 x<= 2. Отсюда 1<x<= 4. Ответ: xin(1;4].

\(x\in(1;4]\)