Задача №17482

Решите неравенство

$$5^{{\log }_5\left({\log }_{5}x\right)}-{\log }_{0,2}^{2}x-12\le 0.$$

Решим неравенство $5^{{\log }_5\left({\log }_{5}x\right)}-{\log }_{0,2}^{2}x-12\le 0\text{.}$

ОДЗ. Внешний логарифм ${\log }_5\left({\log }_{5}x\right)$ определён, когда его аргумент положителен: ${\log }_{5}x>0\text{,}$ то есть $x>1\text{.}$ При этом и ${\log }_{5}x$ сам определён ($x>0$), и ${\log }_{0,2}x$ определён. Значит ОДЗ: $x>1\text{.}$

Упростим слагаемые. По основному логарифмическому тождеству при ${\log }_{5}x>0$

$$5^{{\log }_5\left({\log }_{5}x\right)}={\log }_{5}x.$$

Далее, так как $0,2=\frac{1}{5}\text{,}$ то

$${\log }_{0,2}x={\log }_{1/5}x=-{\log }_{5}x,{\log }_{0,2}^{2}x=(-{\log }_{5}x{)}^2=({\log }_{5}x{)}^2.$$

Замена. Пусть $u={\log }_{5}x\text{;}$ на ОДЗ $u>0\text{.}$ Неравенство принимает вид

$$u-u^2-12\le 0.$$

Умножим на $-1$ (знак меняется):

$$u^2-u+12\ge 0.$$

Исследуем квадратный трёхчлен $f(u)=u^2-u+12\text{.}$ Его дискриминант

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 12=1-48=-47<0,$$

а старший коэффициент положителен, поэтому $f(u)>0$ при всех $u\text{.}$ Значит неравенство $u^2-u+12\ge 0$ выполнено для любого $u\text{,}$ в частности для всех $u>0\text{.}$

Следовательно, исходное неравенство верно на всей ОДЗ, то есть при ${\log }_{5}x>0\text{,}$ что равносильно $x>1\text{.}$

Ответ: $x\in (1;+\infty )\text{.}$