Задача №17481

а) Решите уравнение

$$2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Преобразуем уравнение

$$2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=0.$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin x\text{,}$ поэтому второе слагаемое равно $2\sqrt{2}\cdot (-\sin x)=-2\sqrt{2}\sin x\text{.}$

Раскроем синус разности:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x),$$

тогда $2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x\text{.}$

Подставляем:

$$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0,$$ $$-\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=0.$$

Разделим на $-\sqrt{2}\text{:}$

$$\sin x+\cos x=0.$$

Так как $\cos x=0$ не даёт решений (тогда и $\sin x=0$ одновременно невозможно), разделим на $\cos x\text{:}$

$$\mathrm{tg}x=-1,x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right]\text{,}$ то есть $[-3,5\pi ;-2,5\pi ]\text{.}$ Решаем неравенство

$$-\frac{7\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}+\pi n\le -\frac{5\pi }{2}.$$

Разделим на $\pi \text{:}$

$$-3,5\le -0,25+n\le -2,5,$$ $$-3,25\le n\le -2,25.$$

Единственное целое значение — $n=-3\text{.}$ Тогда

$$x=-\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{\pi }{4}-\frac{12\pi }{4}=-\frac{13\pi }{4}.$$

Значение $-\frac{13\pi }{4}=-3,25\pi$ принадлежит отрезку $[-3,5\pi ;-2,5\pi ]\text{.}$

Ответ: а) $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{;}$ б) $-\frac{13\pi }{4}\text{.}$