а) Решите уравнение 2sin(x-(pi)/(4))+2sqrt(2)cos((pi)/(2)+x)=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-(7pi)/(2);-(5pi)/(2)].

а) Преобразуем уравнение 2sin(x-(pi)/(4))+2sqrt(2)cos((pi)/(2)+x)=0. По формуле приведения cos((pi)/(2)+x)=-sin x, поэтому второе слагаемое равно 2sqrt(2)*(-sin x)=-2sqrt(2)sin x. Раскроем синус разности: sin(x-(pi)/(4))=sin xcos(pi)/(4)-cos xsin(pi)/(4)=(sqrt(2))/(2)(sin x-cos x), тогда 2sin(x-(pi)/(4))=sqrt(2)sin x-sqrt(2)cos x. Подставляем: sqrt(2)sin x-sqrt(2)cos x-2sqrt(2)sin x=0, -sqrt(2)sin x-sqrt(2)cos x=0. Разделим на -sqrt(2): sin x+cos x=0. Так как cos x=0 не даёт решений (тогда и sin x=0 одновременно невозможно), разделим на cos x: tg x=-1, x=-(pi)/(4)+pi n, ninZ. б) Отберём корни на отрезке [-(7pi)/(2);-(5pi)/(2)], то есть [-3,5pi;-2,5pi]. Решаем неравенство -(7pi)/(2)<= -(pi)/(4)+pi n<= -(5pi)/(2). Разделим на pi: -3,5<= -0,25+n<= -2,5, -3,25<= n<= -2,25. Единственное целое значение — n=-3. Тогда x=-(pi)/(4)-3pi=-(pi)/(4)-(12pi)/(4)=-(13pi)/(4). Значение -(13pi)/(4)=-3,25pi принадлежит отрезку [-3,5pi;-2,5pi]. Ответ: а) x=-(pi)/(4)+pi n, ninZ; б) -(13pi)/(4).

а) \(x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\); б) \(-\dfrac{13\pi}{4}\)