В прямой призме ABCA_1B_1C_1 основание ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C. Известно, что B_1A A_1C. а) Докажите, что AA_1C_1C — квадрат. б) Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми CA_1 и AB_1, если AC=6, BC=3, боковое ребро AA_1=6.

Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине прямого угла C, направив оси вдоль катетов CA, CB и бокового ребра CC_1. Обозначим AC=b, BC=a, AA_1=h. Тогда C=(0,0,0), A=(b,0,0), B=(0,a,0), A_1=(b,0,h), B_1=(0,a,h), C_1=(0,0,h). а) Рассмотрим векторы B_1A=(b,-a,-h) и A_1C=(-b,0,-h). Условие B_1A A_1C означает, что их скалярное произведение равно нулю: B_1A*A_1C=-b^(2)+0+h^(2)=0=>h^(2)=b^(2)=>h=b, то есть AA_1=AC. Так как призма прямая, боковое ребро AA_1 перпендикулярно плоскости основания, поэтому AA_1 AC и грань AA_1C_1C — прямоугольник. У него соседние стороны равны (AA_1=AC), значит это квадрат, что и требовалось доказать. б) Подставим AC=b=6, BC=a=3, AA_1=h=6: C=(0,0,0), A=(6,0,0), A_1=(6,0,6), B_1=(0,3,6). Найдём общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — отрезок PQ, где точка P лежит на прямой CA_1, точка Q — на прямой AB_1, а сам отрезок PQ перпендикулярен обеим прямым. Его длина и есть искомое расстояние. Зададим точки параметрически. Направляющий вектор прямой CA_1 равен CA_1=(6,0,6)(1,0,1), поэтому P=C+t(6,0,6)=(6t,0,6t). Направляющий вектор прямой AB_1 равен AB_1=(-6,3,6)(-2,1,2), поэтому Q=A+s(-6,3,6)=(6-6s,3s,6s). Тогда PQ=Q-P=(6-6s-6t,3s,6s-6t). Перпендикулярность PQ к обеим прямым даёт два уравнения через скалярное произведение. С направляющим прямой CA_1: PQ*(1,0,1)=(6-6s-6t)+(6s-6t)=6-12t=0=>t=12. С направляющим прямой AB_1: PQ*(-2,1,2)=-2(6-6s-6t)+3s+2(6s-6t)=-12+27s=0=>s=49. Подставляя t=12 и s=49, получаем P=(3,0,3), Q=((10)/(3),(4)/(3),(8)/(3)), PQ=(13,43,-13). Длина общего перпендикуляра PQ=sqrt((13)^(2)+(43)^(2)+(-13)^(2))=sqrt((1+16+1)/(9))=sqrt((18)/(9))=2. Ответ: 2.

б) \(\sqrt{2}\)