Задача №17479

В прямой призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ основание $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C\text{.}$ Известно, что $B_{1}A\perp A_{1}C\text{.}$

а) Докажите, что $A{A}_1{C}_{1}C$ — квадрат.

б) Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми $C{A}_1$ и $A{B}_1\text{,}$ если $AC=6\text{,}$ $BC=3\text{,}$ боковое ребро $A{A}_1=6\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине прямого угла $C\text{,}$ направив оси вдоль катетов $CA\text{,}$ $CB$ и бокового ребра $C{C}_1\text{.}$ Обозначим $AC=b\text{,}$ $BC=a\text{,}$ $A{A}_1=h\text{.}$ Тогда

$$C=(0,0,0),A=(b,0,0),B=(0,a,0),A_1=(b,0,h),B_1=(0,a,h),C_1=(0,0,h).$$

а) Рассмотрим векторы $\overrightarrow{B_{1}A}=(b,-a,-h)$ и $\overrightarrow{A_{1}C}=(-b,0,-h)\text{.}$ Условие $B_{1}A\perp A_{1}C$ означает, что их скалярное произведение равно нулю:

$$\overrightarrow{B_{1}A}\cdot \overrightarrow{A_{1}C}=-b^2+0+h^2=0\Rightarrow h^2=b^2\Rightarrow h=b,$$

то есть $A{A}_1=AC\text{.}$ Так как призма прямая, боковое ребро $A{A}_1$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому $A{A}_1\perp AC$ и грань $A{A}_1{C}_{1}C$ — прямоугольник. У него соседние стороны равны ($A{A}_1=AC$), значит это квадрат, что и требовалось доказать.

б) Подставим $AC=b=6\text{,}$ $BC=a=3\text{,}$ $A{A}_1=h=6\text{:}$

$$C=(0,0,0),A=(6,0,0),A_1=(6,0,6),B_1=(0,3,6).$$

Найдём общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — отрезок $PQ\text{,}$ где точка $P$ лежит на прямой $C{A}_1\text{,}$ точка $Q$ — на прямой $A{B}_1\text{,}$ а сам отрезок $PQ$ перпендикулярен обеим прямым. Его длина и есть искомое расстояние.

Зададим точки параметрически. Направляющий вектор прямой $C{A}_1$ равен $\overrightarrow{C{A}_1}=(6,0,6)\parallel (1,0,1)\text{,}$ поэтому

$$P=C+t(6,0,6)=(6t,0,6t).$$

Направляющий вектор прямой $A{B}_1$ равен $\overrightarrow{A{B}_1}=(-6,3,6)\parallel (-2,1,2)\text{,}$ поэтому

$$Q=A+s(-6,3,6)=(6-6s,3s,6s).$$

Тогда

$$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(6-6s-6t,3s,6s-6t).$$

Перпендикулярность $PQ$ к обеим прямым даёт два уравнения через скалярное произведение.

С направляющим прямой $C{A}_1\text{:}$

$$\overrightarrow{PQ}\cdot (1,0,1)=(6-6s-6t)+(6s-6t)=6-12t=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}.$$

С направляющим прямой $A{B}_1\text{:}$

$$\overrightarrow{PQ}\cdot (-2,1,2)=-2(6-6s-6t)+3s+2(6s-6t)=-12+27s=0\Rightarrow s=\frac{4}{9}.$$

Подставляя $t=\frac{1}{2}$ и $s=\frac{4}{9}\text{,}$ получаем

$$P=(3,0,3),Q=\left(\frac{10}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right),\overrightarrow{PQ}=\left(\frac{1}{3},\frac{4}{3},-\frac{1}{3}\right).$$

Длина общего перпендикуляра

$$PQ=\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1+16+1}{9}}=\sqrt{\frac{18}{9}}=\sqrt{2}.$$

Ответ: $\sqrt{2}\text{.}$