Задача №17478

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5\text{,}$ либо уменьшают цифру в разряде десятков на $2$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2\text{.}$ Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $128$ меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться $25\text{,}$ если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1198\text{?}$

Первая операция изменяет число на $+20-5=+15$ (применима, если цифра десятков от $1$ до $7\text{,}$ а цифра единиц от $5$ до $9\text{,}$ чтобы не было перехода через разряд). Вторая операция изменяет число на $-20+2=-18$ (применима, если цифра десятков от $3$ до $9\text{,}$ а цифра единиц от $0$ до $7$). Пусть первую операцию применили $a$ раз, вторую — $b$ раз; всего чисел $n=a+b\text{.}$
а) Изменение суммы равно $15a-18b=3(5a-6b)$ и делится на $3\text{.}$ Число $128$ на $3$ не делится, поэтому сумма не может увеличиться ровно на $128\text{.}$ Нет.
б) Равенство сумм означает $15a=18b\text{,}$ то есть $5a=6b\text{;}$ тогда $a=6t\text{,}$ $b=5t$ и $n=11t$ кратно $11\text{.}$ Число $25$ не кратно $11\text{,}$ поэтому $25$ чисел быть не может. Нет.
в) Из пункта б) $n=11t\text{.}$ Наименьшее двузначное число, к которому применима первая операция, равно $15\text{,}$ а к которому применима вторая — $30\text{.}$ Поэтому сумма исходных чисел не меньше $15\cdot 6t+30\cdot 5t=240t\text{.}$ Условие $240t<1198$ даёт $t⩽4$ (при $t=5$ сумма не меньше $1200$). Значит $n⩽44\text{.}$ Пример для $n=44\text{:}$ $24$ числа $15$ (первая операция: $15\to 30$) и $20$ чисел $30$ (вторая операция: $30\to 12$); сумма исходных $=24\cdot 15+20\cdot 30=960<1198$ и равна сумме получившихся $=24\cdot 30+20\cdot 12=960\text{.}$ 44.