На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными. а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел? б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел? в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

Первая операция изменяет число на +20-5=+15 (применима, если цифра десятков от 1 до 7, а цифра единиц от 5 до 9, чтобы не было перехода через разряд). Вторая операция изменяет число на -20+2=-18 (применима, если цифра десятков от 3 до 9, а цифра единиц от 0 до 7). Пусть первую операцию применили a раз, вторую — b раз; всего чисел n=a+b. а) Изменение суммы равно 15a-18b=3(5a-6b) и делится на 3. Число 128 на 3 не делится, поэтому сумма не может увеличиться ровно на 128. **Нет.** б) Равенство сумм означает 15a=18b, то есть 5a=6b; тогда a=6t, b=5t и n=11t кратно 11. Число 25 не кратно 11, поэтому 25 чисел быть не может. **Нет.** в) Из пункта б) n=11t. Наименьшее двузначное число, к которому применима первая операция, равно 15, а к которому применима вторая — 30. Поэтому сумма исходных чисел не меньше 15*6t+30*5t=240t. Условие 240t<1198 даёт t4 (при t=5 сумма не меньше 1200). Значит n44. Пример для n=44: 24 числа 15 (первая операция: 1530) и 20 чисел 30 (вторая операция: 3012); сумма исходных =24*15+20*30=960<1198 и равна сумме получившихся =24*30+20*12=960. **44.**

а) Нет; б) Нет; в) 44