В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AH и CT. Из точки H проведены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E. а) Докажите, что EH AB. б) Найдите ME, если известно, что AB=5 и AC=6.

а) Так как AMH+ AKH=180^, четырёхугольник AMHK вписанный, поэтому HMK= HAK (опираются на одну дугу). Поскольку HM AB и CT AB, то HM CT, и HMK= CEK (соответственные углы). В прямоугольном треугольнике CAH с высотой HK: KHC=90^- KCH= HAC. Значит на сторону KC опираются равные углы KEC= KHC, поэтому KEHC — вписанный, откуда HEC= HKC=90^. Тогда HE TC, а так как AB TC, то HE AB. б) Из пункта а) MHET — прямоугольник (HM AB, ET AB, HE AB), поэтому ME=TH. Проведём в ABC высоту BP к основанию AC: тогда AP=PC=3, BP=sqrt(AB^2-AP^2)=sqrt(25-9)=4, cos ABP=(4)/(5). Значит cos ABC=cos(2 ABP)=2cos^2 ABP-1=(7)/(25). Из подобия BHT BAC ( B общий, (BT)/(BC)=(BH)/(BA)=cos B) следует (TH)/(AC)=cos ABC, откуда ME=TH=AC*(7)/(25)=6*(7)/(25)=(42)/(25).

б) \(\dfrac{42}{25}\)