Задача №17476

Решите неравенство $\frac{25^x-30\cdot 5^x+125}{{\log }_7(0,25\cdot 2^x)}⩾0\text{.}$

ОДЗ: $0,25\cdot 2^x>0$ (верно при всех $x$) и ${\log }_7(0,25\cdot 2^x)\ne 0\text{,}$ то есть $0,25\cdot 2^x\ne 1\iff 2^{x-2}\ne 1\iff x\ne 2\text{.}$ Заменой $t=5^x>0$ разложим числитель: $25^x-30\cdot 5^x+125=t^2-30t+125=(t-5)(t-25)=(5^x-5)(5^x-25)\text{.}$ Знаменатель: ${\log }_7(2^{x-2})=(x-2){\log }_{7}2\text{.}$ По методу рационализации

откуда $x-1⩾0$ при $x\ne 2\text{,}$ то есть $x\in [1;2)\cup (2;+\infty )\text{.}$