Задача №17475

а) Так как $AM=AK=6\text{,}$ то $MB=KD=4\text{.}$ Обозначим $\angle BAD=\alpha \text{.}$ Для треугольников с общим углом $A\text{:}$ $S_{BAD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin \alpha \text{,}$ $S_{MAK}=\frac{1}{2}AM\cdot AK\sin \alpha \text{.}$ Пусть $h$ — расстояние от $C$ до плоскости $(ABD)\text{.}$ Тогда

$$\frac{V_{MBCKD}}{V_{AMCK}}=\frac{V_{ABCD}-V_{AMCK}}{V_{AMCK}}=\frac{S_{BAD}-S_{MAK}}{S_{MAK}}=\frac{10\cdot 10-6\cdot 6}{6\cdot 6}=\frac{64}{36}=\frac{16}{9}.$$

б) Все грани правильного тетраэдра — правильные треугольники, поэтому $\angle BAC=\angle DAC=60^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов $M{C}^2=A{M}^2+A{C}^2-2AM\cdot AC\cos 60^{\circ }=36+100-60=76\text{,}$ аналогично $K{C}^2=76\text{;}$ значит $MC=KC=\sqrt{76}\text{.}$ Треугольник $MAK$ равносторонний со стороной $6\text{,}$ поэтому $MK=6\text{;}$ пусть $H$ — середина $MK\text{,}$ тогда $MH=3$ и высота равнобедренного треугольника $KMC$ равна $CH=\sqrt{M{C}^2-M{H}^2}=\sqrt{76-9}=\sqrt{67}\text{.}$ Опуская из $A$ перпендикуляр на плоскость $(CMK)$ и используя найденные длины, получаем $\cos \angle (AC,(CMK))=\frac{7}{\sqrt{67}}=\frac{7\sqrt{67}}{67}\text{.}$