В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 10. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM=AK=6. а) Докажите, что плоскость (CMK) делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 16:9. б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью (CMK).

а) Так как AM=AK=6, то MB=KD=4. Обозначим BAD=alpha. Для треугольников с общим углом A: S_(BAD)=12 AB* AD, S_(MAK)=12 AM* AK. Пусть h — расстояние от C до плоскости (ABD). Тогда (V_(MBCKD))/(V_(AMCK))=(V_(ABCD)-V_(AMCK))/(V_(AMCK))=(S_(BAD)-S_(MAK))/(S_(MAK))=(10*10-6*6)/(6*6)=(64)/(36)=(16)/(9). б) Все грани правильного тетраэдра — правильные треугольники, поэтому BAC= DAC=60^. По теореме косинусов MC^2=AM^2+AC^2-2AM* AC60^=36+100-60=76, аналогично KC^2=76; значит MC=KC=sqrt(76). Треугольник MAK равносторонний со стороной 6, поэтому MK=6; пусть H — середина MK, тогда MH=3 и высота равнобедренного треугольника KMC равна CH=sqrt(MC^2-MH^2)=sqrt(76-9)=sqrt(67). Опуская из A перпендикуляр на плоскость (CMK) и используя найденные длины, получаем cos(AC,(CMK))=(7)/(sqrt(67))=(7sqrt(67))/(67).

б) \(\dfrac{7}{\sqrt{67}}=\dfrac{7\sqrt{67}}{67}\)