Задача №17474

а) Решите уравнение $2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}\cos (\pi -x)=1\text{.}$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{17\pi }{2};10\pi \right]\text{.}$

а) По формуле косинуса разности $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\text{,}$ а по формуле приведения $\cos (\pi -x)=-\cos x\text{.}$ Уравнение примет вид $\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=1\text{,}$ то есть $\sqrt{2}\sin x=1\text{,}$ $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$ Отсюда $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ или $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{17\pi }{2};10\pi \right]\text{:}$ из серии $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ при $k=4$ получаем $\frac{35\pi }{4}\text{,}$ что принадлежит отрезку; остальные значения вне него. Ответ: $\frac{35\pi }{4}\text{.}$