Задача №17441

Решите неравенство $\frac{4^x-3\cdot 2^x+2}{{\log }_3(0,5\cdot 2^x)}⩾0\text{.}$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $0,5\cdot 2^x\ne 1\iff 2^{x-1}\ne 1\iff x\ne 1\text{.}$ Заменой $t=2^x>0$ разложим числитель:

Знаменатель: ${\log }_3(0,5\cdot 2^x)={\log }_3{2}^{x-1}=(x-1){\log }_{3}2\text{.}$ Так как $2^x-1$ одного знака с $x\text{,}$ а $2^x-2$ — одного знака с $x-1\text{,}$ методом рационализации

Отсюда $x⩾0$ при $x\ne 1\text{,}$ то есть $x\in [0;1)\cup (1;+\infty )\text{.}$
Ответ: $[0;1)\cup (1;+\infty )\text{.}$