Задача №17440

а) Решите уравнение $4\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+2\cos (\pi -x)=3\text{.}$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{13\pi }{2};8\pi \right]\text{.}$

а) По формуле косинуса суммы и формуле приведения $\cos (\pi -x)=-\cos x\text{:}$

Отсюда $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ значит $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
б) Отбор корней на тригонометрической окружности на отрезке $\left[\frac{13\pi }{2};8\pi \right]$ даёт корни $\frac{22\pi }{3}$ и $\frac{23\pi }{3}\text{.}$
Ответ: а) $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{;}$ $x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ б) $\frac{22\pi }{3};\frac{23\pi }{3}\text{.}$