Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ЕГЭ 2026
sdamex
В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB=BC проведены высоты AH и CT. Из точки H опущены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E.
а) Докажите, что EH∥AB.
б) Найдите HE, если AB=13 и AC=10.
а) Так как ∠AMH+∠AKH=90∘+90∘=180∘, четырёхугольник AMHK вписанный, поэтому ∠HAK=∠HMK (опираются на дугу HK). Так как HM⊥AB и CT⊥AB, то HM∥CT, и ∠HMK=∠CEK как соответственные углы при параллельных HM и CT и секущей ME. Тогда углы ∠KEC и ∠KHC опираются на отрезок KC, значит четырёхугольник KEHC вписанный и ∠HKC=∠HEC=90∘. Поэтому HE⊥TC, а так как AB⊥TC, получаем HE∥AB.
б) Прямоугольные треугольники ATC и CHA равны: гипотенуза AC общая, ∠TAC=∠HCA (углы при основании равнобедренного треугольника), а значит и ∠TCA=∠HAC. Поэтому AT=CH, и так как AB=BC, то TB=HB.
Высота BP равнобедренного треугольника ABC является медианой, поэтому AP=PC=5 и
Запишем площадь △ABC двумя способами:
21AC⋅BP=21AB⋅CT ⇒ CT=ABAC⋅BP=1310⋅12=13120.Из прямоугольного треугольника ATC:
AT=AC2−CT2=1310132−122=1310⋅5=1350,BT=AB−AT=13−1350=13119.По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых CT и HM:
MBTM=HBCH=BTAT=11950,TM=16950⋅BT=16950⋅13119=21975950.Четырёхугольник HMTE — параллелограмм (HM∥ET и HE∥MT), поэтому
HE=TM=21975950.Ответ: б) 21975950.