В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB=BC проведены высоты AH и CT. Из точки H опущены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E. а) Докажите, что EH AB. б) Найдите HE, если AB=13 и AC=10.

а) Так как AMH+ AKH=90^+90^=180^, четырёхугольник AMHK вписанный, поэтому HAK= HMK (опираются на дугу HK). Так как HM AB и CT AB, то HM CT, и HMK= CEK как соответственные углы при параллельных HM и CT и секущей ME. Тогда углы KEC и KHC опираются на отрезок KC, значит четырёхугольник KEHC вписанный и HKC= HEC=90^. Поэтому HE TC, а так как AB TC, получаем HE AB. б) Прямоугольные треугольники ATC и CHA равны: гипотенуза AC общая, TAC= HCA (углы при основании равнобедренного треугольника), а значит и TCA= HAC. Поэтому AT=CH, и так как AB=BC, то TB=HB. Высота BP равнобедренного треугольника ABC является медианой, поэтому AP=PC=5 и BP=sqrt(13^2-5^2)=12. Запишем площадь ABC двумя способами: 12AC* BP=12AB* CT => CT=(AC* BP)/(AB)=(10* 12)/(13)=(120)/(13). Из прямоугольного треугольника ATC: AT=sqrt(AC^2-CT^2)=(10)/(13)sqrt(13^2-12^2)=(10* 5)/(13)=(50)/(13), BT=AB-AT=13-(50)/(13)=(119)/(13). По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых CT и HM: (TM)/(MB)=(CH)/(HB)=(AT)/(BT)=(50)/(119), TM=(50)/(169)* BT=(50)/(169)*(119)/(13)=(5950)/(2197). Четырёхугольник HMTE — параллелограмм (HM ET и HE MT), поэтому HE=TM=(5950)/(2197). Ответ: б) (5950)/(2197).

б) \(\dfrac{5950}{2197}\)