Задача №17425

На столе лежит $N$ монет по 2 рубля и $1200-N$ монет по 5 рублей, где $N$ может принимать значения от 1 до 1199. Известно, что если взять любые 500 монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли $N$ равняться 400?
б) Может ли $N$ равняться 600?
в) Сколько различных значений может принимать $N\text{?}$

Общая сумма всех монет равна $2N+5(1200-N)=6000-3N\text{.}$ Условие должно выполняться для наименьшей возможной суммы 500 монет, то есть когда взято максимально много двухрублёвых монет.

а) При $N=400$ минимальная сумма 500 монет: $400\cdot 2+100\cdot 5=1300\text{,}$ а четверть общей суммы $\frac{6000-1200}{4}=1200\text{.}$ Так как $1300⩾1200\text{,}$ а замена любой двойки на пятёрку только увеличивает сумму выбранных монет, условие выполнено. Значит, $N=400$ возможно.

б) Условие требует, чтобы любые 500 монет давали сумму не меньше четверти общей, поэтому, чтобы доказать невозможность, достаточно указать один нарушающий набор. При $N=600$ двухрублёвых монет ровно 600, поэтому можно взять 500 из них — это даёт наименьшую возможную сумму $500\cdot 2=1000\text{.}$ Четверть общей суммы равна $\frac{6000-1800}{4}=1050\text{.}$ Так как $1000<1050\text{,}$ уже этот набор нарушает условие, а значит, $N=600$ невозможно. (Брать «не только двухрублёвые» можно, но любой такой набор даёт большую сумму и условие не нарушает — для опровержения достаточно самого дешёвого набора.)

в) Если $1⩽N⩽500\text{,}$ наименьшая сумма 500 монет равна $2N+5(500-N)=2500-3N\text{,}$ и условие $2500-3N⩾\frac{6000-3N}{4}$ даёт $9N⩽4000\text{,}$ то есть $N⩽444\text{.}$ Подходят $N=1,\dots ,444$ (444 значения).

Если $500<N⩽1199\text{,}$ наименьшая сумма 500 монет равна $500\cdot 2=1000\text{,}$ и условие $1000⩾\frac{6000-3N}{4}$ даёт $3N⩾2000\text{,}$ то есть $N⩾667\text{.}$ Подходят $N=667,\dots ,1199$ (533 значения).

Всего $444+533=977$ значений.
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 977.