На столе лежит N монет по 2 рубля и 1200-N монет по 5 рублей, где N может принимать значения от 1 до 1199. Известно, что если взять любые 500 монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет. а) Может ли N равняться 400? б) Может ли N равняться 600? в) Сколько различных значений может принимать N?

Общая сумма всех монет равна 2N+5(1200-N)=6000-3N. Условие должно выполняться для наименьшей возможной суммы 500 монет, то есть когда взято максимально много двухрублёвых монет. а) При N=400 минимальная сумma 500 монет: 400*2+100*5=1300, а четверть общей суммы (6000-1200)/(4)=1200. Так как 13001200, а замена любой двойки на пятёрку только увеличивает сумму выбранных монет, условие выполнено. Значит, N=400 возможно. б) Условие требует, чтобы **любые** 500 монет давали сумму не меньше четверти общей, поэтому, чтобы доказать невозможность, достаточно указать один нарушающий набор. При N=600 двухрублёвых монет ровно 600, поэтому можно взять 500 из них — это даёт наименьшую возможную сумму 500*2=1000. Четверть общей суммы равна (6000-1800)/(4)=1050. Так как 1000<1050, уже этот набор нарушает условие, а значит, N=600 невозможно. (Брать «не только двухрублёвые» можно, но любой такой набор даёт большую сумму и условие не нарушает — для опровержения достаточно самого дешёвого набора.) в) Если 1 N 500, наименьшая сумма 500 монет равна 2N+5(500-N)=2500-3N, и условие 2500-3N(6000-3N)/(4) даёт 9N4000, то есть N444. Подходят N=1,,444 (444 значения). Если 500<N1199, наименьшая сумма 500 монет равна 500*2=1000, и условие 1000(6000-3N)/(4) даёт 3N2000, то есть N667. Подходят N=667,,1199 (533 значения). Всего 444+533=977 значений. Ответ: а) Да; б) Нет; в) 977.

а) Да; б) Нет; в) 977