Задача №17422

Решите неравенство $5^{{\log }_5({\log }_{5}x)}+{\left({\log }_{0,2}x\right)}^2-12⩽0\text{.}$

ОДЗ: $x>0$ и ${\log }_{5}x>0\text{,}$ то есть $x>1\text{.}$ По свойству $a^{{\log }_{a}b}=b$ имеем $5^{{\log }_5({\log }_{5}x)}={\log }_{5}x\text{.}$ Так как ${\log }_{0,2}x={\log }_{5^{-1}}x=-{\log }_{5}x\text{,}$ то ${\left({\log }_{0,2}x\right)}^2=({\log }_{5}x{)}^2\text{.}$ Замена $t={\log }_{5}x>0\text{:}$

С учётом $t>0$ получаем $0<t⩽3\text{.}$ Возвращаясь к $x\text{:}$

Ответ: $(1;125]\text{.}$