Задача №17416

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель. Группировка даёт

$$(x+1)\left(a{x}^3-2x^2+\left(a^3-a\right)x-\left(2a^2-2\right)\right)=0,$$

а затем

$$(x+1)x^2(ax-2)+(x+1)\left(a^2-1\right)(ax-2)=(x+1)(ax-2)\left(x^2+a^2-1\right)=0.$$

Значит, в осях $xOa$ уравнение задаёт прямую $x=-1\text{,}$ гиперболу $a=\frac{2}{x}$ (в I и III четвертях) и окружность $x^2+a^2=1$ с центром $(0;0)$ и радиусом 1. Прямая $x=-1$ пересекает гиперболу в точке $(-1;-2)\text{,}$ а окружность — в точке $(-1;0)\text{.}$

Будем двигать прямую $a=\text{const}\text{.}$ Подсчёт числа точек пересечения с объединением трёх линий показывает, что ровно 2 решения уравнение имеет при

$$a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;-1)\cup \{0\}\cup (1;+\infty ).$$

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;-1)\cup \{0\}\cup (1;+\infty )\text{.}$