Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x=-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2 имеет ровно 2 решения.

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель. Группировка даёт (x+1)(ax^3-2x^2+(a^3-a)x-(2a^2-2))=0, а затем (x+1)x^2(ax-2)+(x+1)(a^2-1)(ax-2)=(x+1)(ax-2)(x^2+a^2-1)=0. Значит, в осях xOa уравнение задаёт прямую x=-1, гиперболу a=(2)/(x) (в I и III четвертях) и окружность x^2+a^2=1 с центром (0;0) и радиусом 1. Прямая x=-1 пересекает гиперболу в точке (-1;-2), а окружность — в точке (-1;0). Будем двигать прямую a=const. Подсчёт числа точек пересечения с объединением трёх линий показывает, что ровно 2 решения уравнение имеет при ain(-inf;-2)U(-2;-1)U0U(1;+inf). Ответ: ain(-inf;-2)U(-2;-1)U0U(1;+inf).

\((-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup\{0\}\cup(1;+\infty)\)