Задача №17410

Решите неравенство

$$\frac{x^2+4x-5}{{\log }_3(0,2\cdot 5^x)}⩾0.$$

ОДЗ: $0,2\cdot 5^x>0$ (верно при всех $x$) и ${\log }_3(0,2\cdot 5^x)\ne 0\iff 0,2\cdot 5^x\ne 1\iff 5^{x-1}\ne 1\iff x\ne 1\text{.}$

Разложим числитель: $x^2+4x-5=(x+5)(x-1)\text{.}$ Преобразуем знаменатель: ${\log }_3(0,2\cdot 5^x)={\log }_3{5}^{x-1}=(x-1){\log }_{3}5\text{.}$ Тогда неравенство равносильно

$$\frac{(x+5)(x-1)}{(x-1){\log }_{3}5}⩾0\iff \frac{x+5}{{\log }_{3}5}⩾0(x\ne 1).$$

Так как ${\log }_{3}5>0\text{,}$ получаем $x+5⩾0\text{,}$ то есть $x⩾-5\text{.}$ С учётом ОДЗ $x\ne 1\text{:}$

$$x\in [-5;1)\cup (1;+\infty ).$$

Ответ: $x\in [-5;1)\cup (1;+\infty )\text{.}$