Задача №17408

а) Решите уравнение $4\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}\text{.}$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

а) По формуле синуса разности $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\text{.}$ Тогда

Отсюда $\cos x=-\frac{1}{2}\text{,}$ значит $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отбор корней на тригонометрической окружности на отрезке $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ даёт единственный корень $-\frac{2\pi }{3}\text{.}$
Ответ: а) $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ б) $-\frac{2\pi }{3}\text{.}$