Задача №17407

Решите неравенство

$$\frac{x^2+2x-3}{{\log }_3(8\cdot 2^x)}⩽0.$$

ОДЗ: $8\cdot 2^x>0$ (верно при всех $x$) и ${\log }_3(8\cdot 2^x)\ne 0\iff 8\cdot 2^x\ne 1\iff 2^{x+3}\ne 1\iff x\ne -3\text{.}$

Разложим числитель: $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\text{.}$ Преобразуем знаменатель: ${\log }_3(8\cdot 2^x)={\log }_3{2}^{x+3}=(x+3){\log }_{3}2\text{.}$ Тогда неравенство равносильно

$$\frac{(x+3)(x-1)}{(x+3){\log }_{3}2}⩽0\iff \frac{x-1}{{\log }_{3}2}⩽0(x\ne -3).$$

Так как ${\log }_{3}2>0\text{,}$ получаем $x-1⩽0\text{,}$ то есть $x⩽1\text{.}$ С учётом ОДЗ $x\ne -3\text{:}$

$$x\in (-\infty ;-3)\cup (-3;1].$$

Ответ: $x\in (-\infty ;-3)\cup (-3;1]\text{.}$