Задача №17406

ОДЗ: $3^x-1>0\iff 3^x>1\iff x>0\text{.}$

Используя тождество $a^{{\log }_{a}b}=b\text{,}$ получаем $2^{{\log }_2(3^x-1)}=3^x-1\text{,}$ поэтому

$$3^x-1+9^x-11⩽0,9^x+3^x-12⩽0.$$

Замена $t=3^x$ ($t>1$ по ОДЗ): $t^2+t-12⩽0\text{,}$ $(t+4)(t-3)⩽0\text{,}$ методом интервалов $t\in (1;3]\text{.}$ Обратная замена: $1<3^x⩽3\Rightarrow 0<x⩽1\text{.}$
Ответ: $x\in (0;1]\text{.}$