Задача №17404

а) Раскрывая синус суммы,

$$2\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0,\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0.$$

Разделив на $\sqrt{2}\text{:}$ $\cos x-\sin x=0\text{.}$ Так как $\cos x\ne 0\text{,}$ делим на $\cos x\text{:}$ $1-\mathrm{tg}x=0\text{,}$ $\mathrm{tg}x=1\text{,}$ откуда $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отбор корней на тригонометрической окружности на отрезке $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ даёт единственный корень $-\frac{15\pi }{4}\text{.}$
Ответ: а) $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ б) $-\frac{15\pi }{4}\text{.}$