Задача №17394

Решите неравенство

$$5^{{\log }_5(x^2-1)}+x^4-5⩽0.$$

ОДЗ: $x^2-1>0\iff (x-1)(x+1)>0\iff x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )\text{.}$

Используя тождество $a^{{\log }_{a}b}=b\text{,}$ получаем $5^{{\log }_5(x^2-1)}=x^2-1\text{,}$ поэтому

$$x^2-1+x^4-5⩽0,x^4+x^2-6⩽0.$$

Замена $t=x^2$ ($t⩾0$): $t^2+t-6⩽0\text{,}$ $(t+3)(t-2)⩽0\text{.}$ С учётом ОДЗ $x^2-1>0\Rightarrow t>1$ методом интервалов получаем $t\in (1;2]\text{.}$

Обратная замена: $1<x^2⩽2\text{,}$ что равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2>1\\ x^2⩽2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )\\ x\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\end{array}$$

Пересечение: $x\in \left[-\sqrt{2};-1\right)\cup \left(1;\sqrt{2}\right]$ (все значения принадлежат ОДЗ).
Ответ: $x\in \left[-\sqrt{2};-1\right)\cup \left(1;\sqrt{2}\right]\text{.}$