Задача №17391

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-80\text{.}$ При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — чётные числа. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество красных карт быть равным 5?
б) Может ли количество красных карт быть равным 200?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?

Пусть $B$ — количество синих карт, $R$ — количество красных. Наибольшее красное число равно $2B$ (чётное), наибольшее синее равно $R$ (делится на 5).

а) Пример: 5 красных карт с числами $2,0,-2,-4,-6$ и одна синяя с числом $5\text{.}$ Наибольшее красное $2=2\cdot 1$ (удвоенное число синих), наибольшее синее $5$ равно числу красных. Все условия выполнены, поэтому да.

б) Если красных 200, то наибольшее синее число равно $200$ (делится на 5). Пусть синих $s\text{;}$ наибольшее красное равно $2s\text{.}$ Красные — 200 различных чётных из $(-80;2s]\text{:}$ $\frac{2s+78}{2}+1⩾200\Rightarrow s⩾160\text{.}$ Синие — $s$ различных кратных 5 из $(-80;200]\text{:}$ их не больше $\frac{200+75}{5}+1=56\text{,}$ поэтому $s⩽56\text{.}$ Противоречие. Нет.

в) Пусть красных $R\text{,}$ синих $B\text{.}$ Тогда $R⩽B+40$ (чётных из $(-80;2B]$ не больше $\frac{2B+78}{2}+1=B+40$) и $B⩽\frac{R}{5}+16$ (кратных 5 из $(-80;R]$ не больше $\frac{R+75}{5}+1=\frac{R}{5}+16$). Тогда $R⩽B+40⩽\frac{R}{5}+56\Rightarrow \frac{4}{5}R⩽56\Rightarrow R⩽70\text{.}$ Достижимо при $R=70,B=30\text{:}$ синие — все 30 кратных 5 от $-75$ до $70$ (наибольшее $70=R$), красные — все 70 чётных от $-78$ до $60$ (наибольшее $60=2\cdot 30$).
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 70.