Задача №17390

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD\text{,}$ точка $K$ — середина $SA\text{.}$
а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha \text{.}$
б) Найдите объём пирамиды $MABF\text{,}$ если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^{\circ }$ и $AB=8\text{.}$

а) В треугольнике $SAD$ отрезок $MK$ — средняя линия ($M,K$ — середины $SD,SA$), поэтому $MK\parallel AD$ и $MK=\frac{1}{2}AD\text{.}$ В правильном шестиугольнике $AD\parallel CB$ и $CB=\frac{1}{2}AD\text{.}$ Значит, $MK\parallel CB$ и $MK=CB\text{,}$ то есть $MKBC$ — параллелограмм. Следовательно, $BK\parallel CM$ и эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha \text{.}$

б) Пусть $P$ — середина $BC\text{,}$ $R$ — середина $EF\text{.}$ В равнобедренном треугольнике $SBC$ медиана $SP$ является высотой: $SP\perp BC\text{;}$ кроме того, $PR\perp BC\text{.}$ Значит, $BC\perp (SPR)\text{.}$ Прямые $PR$ и $AD$ пересекаются в центре $O$ шестиугольника, причём $SO$ — высота пирамиды. Пусть $KM$ пересекает $SO$ в точке $Q\text{;}$ тогда $QP\perp BC\text{,}$ поэтому $\angle QPO$ — угол между плоскостью $\alpha$ и основанием, равный $60^{\circ }\text{.}$

В равностороннем треугольнике $OBC\text{:}$ $OP=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=4\sqrt{3}\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $QOP\text{:}$ $\mathrm{tg}60^{\circ }=\frac{QO}{OP}\text{,}$ то есть $\sqrt{3}=\frac{QO}{4\sqrt{3}}\text{,}$ откуда $QO=12\text{.}$

Так как $M$ — середина $SD\text{,}$ а $D$ лежит в плоскости основания, высота точки $M$ над основанием равна $QO=12\text{.}$ Площадь треугольника $ABF\text{:}$ $\angle BAF=120^{\circ }\text{,}$ поэтому

Объём пирамиды $MABF\text{:}$

Ответ: б) $64\sqrt{3}\text{.}$