В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA. а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости alpha. б) Найдите объём пирамиды MABF, если угол между плоскостью alpha и плоскостью основания пирамиды равен 60^ и AB=8.

а) В треугольнике SAD отрезок MK — средняя линия (M,K — середины SD,SA), поэтому MK AD и MK=12 AD. В правильном шестиугольнике AD CB и CB=12 AD. Значит, MK CB и MK=CB, то есть MKBC — параллелограмм. Следовательно, BK CM и эти прямые лежат в одной плоскости alpha. б) Пусть P — середина BC, R — середина EF. В равнобедренном треугольнике SBC медиана SP является высотой: SP BC; кроме того, PR BC. Значит, BC(SPR). Прямые PR и AD пересекаются в центре O шестиугольника, причём SO — высота пирамиды. Пусть KM пересекает SO в точке Q; тогда QP BC, поэтому QPO — угол между плоскостью alpha и основанием, равный 60^. В равностороннем треугольнике OBC: OP=(3)/(2)BC=43. Из прямоугольного треугольника QOP: tg60^=(QO)/(OP), то есть 3=(QO)/(43), откуда QO=12. Так как M — середина SD, а D лежит в плоскости основания, высота точки M над основанием равна QO=12. Площадь треугольника ABF: BAF=120^, поэтому S_(ABF)=12* AB* AF*sin 120^=12* 8* 8*(3)/(2)=163. Объём пирамиды MABF: V_(MABF)=13* S_(ABF)* QO=13* 163* 12=643. Ответ: б) 643.

б) \(64\sqrt{3}\)