Задача №17383

Решите неравенство

$$4^{x^2}-(1-x{)}^{x^2-1/{\log }_2(1-x)}⩾0.$$

ОДЗ: основание степени и аргумент логарифма положительны, а знаменатель показателя не равен нулю: $1-x>0$ и ${\log }_2(1-x)\ne 0\text{,}$ то есть $x<1$ и $x\ne 0\text{.}$

Воспользуемся тождеством $1-x=2^{{\log }_2(1-x)}\text{.}$ Тогда

$$(1-x{)}^{x^2-1/{\log }_2(1-x)}=2^{{\log }_2(1-x)\cdot \frac{x^2-1}{{\log }_2(1-x)}}=2^{x^2-1}.$$

Неравенство принимает вид $4^{x^2}-2^{x^2-1}⩾0\text{,}$ то есть $2^{2x^2}⩾2^{x^2-1}\text{,}$ откуда $2x^2⩾x^2-1\text{,}$ $x^2⩾-1$ — верно при всех $x\text{.}$ Значит, неравенство выполнено на всей области определения.
Ответ: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;1)\text{.}$