Решите неравенство 3^(_3(2^x-2)) + 4^x - 18 0.

Задача №17382: Неравенства

Решите неравенство

3^{l o g_{3} (2^{x} - 2)} + 4^{x} - 18 ⩽ 0.

ОДЗ: $2^{x} - 2 > 0 \Leftrightarrow 2^{x} > 2 \Leftrightarrow x > 1 .$ На ОДЗ $3^{l o g_{3} (2^{x} - 2)} = 2^{x} - 2,$ поэтому

(2^{x} - 2) + 4^{x} - 18 ⩽ 0, (2^{x})^{2} + 2^{x} - 20 ⩽ 0.

Замена $t = 2^{x}$ (по ОДЗ $t > 2$ ): $t^{2} + t - 20 ⩽ 0,$ $(t + 5) (t - 4) ⩽ 0 .$ Методом интервалов с учётом $t > 2$ получаем $t \in (2; 4] .$

Обратная замена: $2 < 2^{x} ⩽ 4 \Rightarrow 1 < x ⩽ 2 .$
Ответ: $x \in (1; 2] .$

Решите неравенство

3^{l o g_{3} (2^{x} - 2)} + 4^{x} - 18 ⩽ 0.

ОДЗ: $2^{x} - 2 > 0 \Leftrightarrow 2^{x} > 2 \Leftrightarrow x > 1 .$ На ОДЗ $3^{l o g_{3} (2^{x} - 2)} = 2^{x} - 2,$ поэтому

(2^{x} - 2) + 4^{x} - 18 ⩽ 0, (2^{x})^{2} + 2^{x} - 20 ⩽ 0.

Замена $t = 2^{x}$ (по ОДЗ $t > 2$ ): $t^{2} + t - 20 ⩽ 0,$ $(t + 5) (t - 4) ⩽ 0 .$ Методом интервалов с учётом $t > 2$ получаем $t \in (2; 4] .$

Обратная замена: $2 < 2^{x} ⩽ 4 \Rightarrow 1 < x ⩽ 2 .$
Ответ: $x \in (1; 2] .$