Перейти к основному содержимому

Математика
Математика (профиль) ЕГЭ
Задачи
№17380

Задача №17380

Средне

Задача #17380

Логарифмические неравенства первой и второй степени•2 балла

Решение №15.4: метод интервалов для t²−t−20≥0 (замена t=5^x>0); решение t∈[5;+∞).

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

Задача по теме "Логарифмические неравенства первой и второй степени"

Задача по теме "Логарифмические неравенства первой и второй степени"

Задача по теме "Логарифмические неравенства первой и второй степени"

Информация

ЭкзаменЕГЭ

Часть

2

Раздел

Алгебра

Тип задачи№16 Неравенства

ТемаЛогарифмические неравенства первой и второй степени

Источник

ЕГЭ 2026

Откуда задача

sdamex

Теги

Метод интерваловПоказательные неравенстваОбласть определения неравенства

Решите неравенство

3^{l o g_{3} (25 - 5^{x})} + 2 5^{x} - 45 ⩾ 0.

ОДЗ: $25 - 5^{x} > 0 \Leftrightarrow 5^{x} < 5^{2} \Leftrightarrow x < 2 .$

На ОДЗ по свойству логарифма $a^{l o g_{a} b} = b$ имеем $3^{l o g_{3} (25 - 5^{x})} = 25 - 5^{x},$ поэтому

(25 - 5^{x}) + 2 5^{x} - 45 ⩾ 0, (5^{x})^{2} - 5^{x} - 20 ⩾ 0.

Замена $t = 5^{x} > 0 :$ $t^{2} - t - 20 ⩾ 0,$ $(t + 4) (t - 5) ⩾ 0 .$ Методом интервалов с учётом $t > 0$ получаем $t ⩾ 5 .$

Обратная замена: $5^{x} ⩾ 5 \Rightarrow x ⩾ 1 .$ Пересекая с ОДЗ, получаем

x \in [1; 2) .

Ответ: $x \in [1; 2) .$