Задача №17377

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(x+1)a^2+(x^3+2x^2+x)a+x^4+2x^3-2x-1=0$$

имеет ровно два решения.

Разложим коэффициенты на множители:

$$x^3+2x^2+x=x(x+1{)}^2,x^4+2x^3-2x-1=(x-1)(x+1{)}^3.$$

Тогда уравнение равносильно

$$(x+1)(a^2+x(x+1)a+(x-1)(x+1{)}^2)=0.$$

Квадратный трёхчлен $a^2+x(x+1)a+(x-1)(x+1{)}^2$ по теореме Виета имеет корни $a_1=-(x^2-1)$ и $a_2=-(x+1)$ (поскольку $-(x^2-1)-(x+1)=-x(x+1)$ и $(-(x^2-1))(-(x+1))=(x-1)(x+1{)}^2$). Поэтому уравнение равносильно

$$(x+1)(a+x^2-1)(a+x+1)=0.$$

Значит, $x=-1$ — корень при любом $a\text{;}$ кроме того $a=1-x^2$ (откуда $x=\pm \sqrt{1-a}$ при $a\le 1$) и $a=-(x+1)$ (откуда $x=-a-1$).

Подсчитаем число различных корней:

— при $a>1\text{:}$ корни $\{-1;-a-1\}$ — ровно два различных;

— при $a=1\text{:}$ корни $\{-1;0;-2\}$ — три;

— при $a<1,a\ne 0,a\ne -3\text{:}$ среди $\{-1;\sqrt{1-a};-\sqrt{1-a};-a-1\}$ ровно четыре различных корня;

— при $a=0\text{:}$ корни $\{-1;1\}$ — ровно два;

— при $a=-3\text{:}$ корни $\{-1;2;-2\}$ — три.

Ровно два различных решения уравнение имеет при $a=0$ и при $a>1\text{.}$

Ответ: $\{0\}\cup (1;+\infty )\text{.}$