Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x+1)a^2 + (x^3+2x^2+x)a + x^4+2x^3-2x-1 = 0 имеет ровно два решения.

Разложим коэффициенты на множители: x^3+2x^2+x=x(x+1)^2, x^4+2x^3-2x-1=(x-1)(x+1)^3. Тогда уравнение равносильно (x+1)(a^2+x(x+1)a+(x-1)(x+1)^2)=0. Квадратный трёхчлен a^2+x(x+1)a+(x-1)(x+1)^2 по теореме Виета имеет корни a_1=-(x^2-1) и a_2=-(x+1) (поскольку -(x^2-1)-(x+1)=-x(x+1) и (-(x^2-1))(-(x+1))=(x-1)(x+1)^2). Поэтому уравнение равносильно (x+1)(a+x^2-1)(a+x+1)=0. Значит, x=-1 — корень при любом a; кроме того a=1-x^2 (откуда x=+-sqrt(1-a) при a<= 1) и a=-(x+1) (откуда x=-a-1). Подсчитаем число различных корней: — при a>1: корни -1; -a-1 — ровно два различных; — при a=1: корни -1; 0; -2 — три; — при a<1, a0, a!=-3: среди -1; sqrt(1-a); -sqrt(1-a); -a-1 ровно четыре различных корня; — при a=0: корни -1; 1 — ровно два; — при a=-3: корни -1; 2; -2 — три. Ровно два различных решения уравнение имеет при a=0 и при a>1. Ответ: 0U(1;+inf).

\(\{0\}\cup(1;\,+\infty)\)