Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x+1)a^2 + (x^3+x+2)a - x^4+x^3+2x^2 = 0 имеет ровно два решения.

Разложим на множители коэффициенты: x^3+x+2=(x+1)(x^2-x+2), -x^4+x^3+2x^2=-x^2(x^2-x-2)=-x^2(x+1)(x-2). Тогда уравнение равносильно (x+1)(a^2+(x^2-x+2)a-x^2(x-2))=0. Квадратный трёхчлен a^2+(x^2-x+2)a-x^2(x-2) по теореме Виета имеет корни a_1=-x^2 и a_2=x-2 (поскольку -x^2+(x-2)=-(x^2-x+2) и (-x^2)(x-2)=-x^2(x-2)). Поэтому уравнение равносильно (x+1)(a+x^2)(a-x+2)=0. Значит, x=-1 — корень при любом a; кроме того a=-x^2 (откуда x=+-sqrt(-a) при a<= 0) и a=x-2 (откуда x=a+2). Подсчитаем число различных корней: — при a>0: корни -1; a+2 — ровно два различных; — при a=0: корни -1; 0; 2 — три; — при a<0, a!=-1, a!=-4: среди -1; sqrt(-a); -sqrt(-a); a+2 ровно четыре различных корня; — при a=-1: корни -1; 1 — ровно два; — при a=-4: корни -1; 2; -2 — три. Ровно два различных решения уравнение имеет при a=-1 и при a>0. Ответ: -1U(0;+inf).

\(\{-1\}\cup(0;\,+\infty)\)