Задача №17376

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(x+1)a^2+(x^3+x+2)a-x^4+x^3+2x^2=0$$

имеет ровно два решения.

Разложим на множители коэффициенты:

$$x^3+x+2=(x+1)(x^2-x+2),-x^4+x^3+2x^2=-x^2(x^2-x-2)=-x^2(x+1)(x-2).$$

Тогда уравнение равносильно

$$(x+1)(a^2+(x^2-x+2)a-x^2(x-2))=0.$$

Квадратный трёхчлен $a^2+(x^2-x+2)a-x^2(x-2)$ по теореме Виета имеет корни $a_1=-x^2$ и $a_2=x-2$ (поскольку $-x^2+(x-2)=-(x^2-x+2)$ и $(-x^2)(x-2)=-x^2(x-2)$). Поэтому уравнение равносильно

$$(x+1)(a+x^2)(a-x+2)=0.$$

Значит, $x=-1$ — корень при любом $a\text{;}$ кроме того $a=-x^2$ (откуда $x=\pm \sqrt{-a}$ при $a\le 0$) и $a=x-2$ (откуда $x=a+2$).

Подсчитаем число различных корней:

— при $a>0\text{:}$ корни $\{-1;a+2\}$ — ровно два различных;

— при $a=0\text{:}$ корни $\{-1;0;2\}$ — три;

— при $a<0,a\ne -1,a\ne -4\text{:}$ среди $\{-1;\sqrt{-a};-\sqrt{-a};a+2\}$ ровно четыре различных корня;

— при $a=-1\text{:}$ корни $\{-1;1\}$ — ровно два;

— при $a=-4\text{:}$ корни $\{-1;2;-2\}$ — три.

Ровно два различных решения уравнение имеет при $a=-1$ и при $a>0\text{.}$

Ответ: $\{-1\}\cup (0;+\infty )\text{.}$