Задача №17372

а) Решите уравнение $2\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)-2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=0\text{.}$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]\text{.}$

$2\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)-2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=0.$

Так как $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\text{,}$ уравнение примет вид

$\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}\cos x=0.$

Распишем косинус разности:

$\cos x\cos \frac{\pi }{6}+\sin x\sin \frac{\pi }{6}-\sqrt{3}\cos x=0,$

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x-\sqrt{3}\cos x=0,$

$\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0,$

$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0|:\cos x\ne 0,$

$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}.$

Таким образом, $x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. На отрезке $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ лежит точка $x=-\frac{11\pi }{3}\text{.}$

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ б) $-\frac{11\pi }{3}\text{.}$