Задача №17371

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-32\text{.}$ При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 8. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Пусть $B$ — количество синих карт, $R$ — количество красных. Наибольшее красное число равно $3B$ (делится на 8), наибольшее синее равно $R$ (делится на 5).

а) При $B=1$ наибольшее красное число равно $3\text{,}$ но красные числа делятся на 8, а $3$ на 8 не делится. Значит, $B=1$ невозможно. Нет.

б) Синие карты — $B$ различных кратных 5 из $(-32;R]$ (наибольшее равно $R$); их не больше $\frac{R+30}{5}+1=\frac{R}{5}+7\text{,}$ поэтому $40⩽\frac{R}{5}+7\Rightarrow R⩾165\text{.}$ Наибольшее красное число $3\cdot 40=120\text{;}$ красные — $R$ различных кратных 8 из $(-32;120]\text{,}$ их не больше $\frac{120+24}{8}+1=19\text{,}$ поэтому $R⩽19\text{.}$ Противоречие. Нет.

в) В общем случае $B⩽\frac{R}{5}+7$ и $R⩽\frac{3B}{8}+4\text{.}$ Тогда

Значение $B=8$ достижимо: $R=5\text{;}$ синие — все 8 кратных 5 от $-30$ до $5$ (наибольшее $5=R$), красные — 5 чисел из $\{-24,-16,-8,0,8,16,24\}$ (кратны 8, наибольшее $24=3\cdot 8$). Все условия выполнены.
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 8.