В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA. а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости alpha. б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью alpha и плоскостью основания пирамиды равен 60^ и AB=6.

а) Рассмотрим треугольник SAD. Так как M — середина SD, K — середина SA, то MK — средняя линия треугольника SAD. Следовательно, MK AD и MK=(1)/(2)AD. Так как пирамида правильная, ABCDEF — правильный шестиугольник, значит CB AD и CB=(1)/(2)AD. Отсюда MK CB и MK=CB, значит MKBC — параллелограмм. Следовательно, BK CM, и эти прямые лежат в одной плоскости alpha. б) Пусть P — середина BC, R — середина EF. Так как пирамида правильная, треугольник SBC равнобедренный, поэтому его медиана SP является высотой: SP BC. Так как ABCDEF — правильный шестиугольник, PR BC. Значит BC(SPR). Прямые PR и AD пересекаются в центре O шестиугольника; SO — высота пирамиды. Пусть KM и SO пересекаются в точке Q. Тогда QP лежит в плоскости (SPR), поэтому QP BC, и QPO — линейный угол двугранного угла между плоскостью alpha и плоскостью основания. По условию QPO=60^. Рассмотрим равносторонний треугольник OBC со стороной BC=AB=6. В нём высота OP=(sqrt(3))/(2)* BC=3sqrt(3). В прямоугольном треугольнике QOP: tg QPO=(QO)/(PO), откуда (QO)/(3sqrt(3))=sqrt(3), значит QO=9. Так как KM — средняя линия треугольника SAD, точка Q — середина SO, поэтому SQ=QO и SO=2QO=18. Ответ: б) 18.

б) \(18\)