Задача №17370

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD\text{,}$ точка $K$ — середина $SA\text{.}$
а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha \text{.}$
б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^{\circ }$ и $AB=6\text{.}$

а) Рассмотрим треугольник $SAD\text{.}$ Так как $M$ — середина $SD\text{,}$ $K$ — середина $SA\text{,}$ то $MK$ — средняя линия треугольника $SAD\text{.}$ Следовательно, $MK\parallel AD$ и $MK=\frac{1}{2}AD\text{.}$

Так как пирамида правильная, $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, значит $CB\parallel AD$ и $CB=\frac{1}{2}AD\text{.}$ Отсюда $MK\parallel CB$ и $MK=CB\text{,}$ значит $MKBC$ — параллелограмм. Следовательно, $BK\parallel CM\text{,}$ и эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha \text{.}$

б) Пусть $P$ — середина $BC\text{,}$ $R$ — середина $EF\text{.}$ Так как пирамида правильная, треугольник $SBC$ равнобедренный, поэтому его медиана $SP$ является высотой: $SP\perp BC\text{.}$ Так как $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, $PR\perp BC\text{.}$ Значит $BC\perp (SPR)\text{.}$

Прямые $PR$ и $AD$ пересекаются в центре $O$ шестиугольника; $SO$ — высота пирамиды. Пусть $KM$ и $SO$ пересекаются в точке $Q\text{.}$ Тогда $QP$ лежит в плоскости $(SPR)\text{,}$ поэтому $QP\perp BC\text{,}$ и $\angle QPO$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания. По условию $\angle QPO=60^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим равносторонний треугольник $OBC$ со стороной $BC=AB=6\text{.}$ В нём высота $OP=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot BC=3\sqrt{3}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $QOP\text{:}$ $\mathrm{tg}\angle QPO=\frac{QO}{PO}\text{,}$ откуда $\frac{QO}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\text{,}$ значит $QO=9\text{.}$

Так как $KM$ — средняя линия треугольника $SAD\text{,}$ точка $Q$ — середина $SO\text{,}$ поэтому $SQ=QO$ и $SO=2QO=18\text{.}$

Ответ: б) $18\text{.}$