Задача №17369

Найдите значение параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(x-2)a^2-(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0$$

имеет ровно два решения.

Сгруппируем уравнение как квадратное относительно $a\text{.}$ Воспользуемся разложениями $x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)$ и $x^3-x^2-4=(x-2)(x^2+x+2)\text{:}$

$$(x-2)a^2-(x-2)(x^2+x+2)a+x^2(x-2)(x+2)=0,$$ $$(x-2)(a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2))=0.$$

Квадратный трёхчлен в скобках раскладывается на множители, так как $x^2\cdot (x+2)=x^2(x+2)$ и $x^2+(x+2)=x^2+x+2\text{:}$

$$a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2)=(a-x^2)(a-(x+2)).$$

Итак, $(x-2)(a-x^2)(a-x-2)=0\text{.}$ Поэтому $x=2$ — корень при любом $a\text{;}$ кроме того, $x=a-2$ (из $a=x+2$) и $x=\pm \sqrt{a}$ (из $a=x^2\text{,}$ при $a\ge 0$).

Подсчитаем число различных корней:
— при $a<0\text{:}$ корни $\{2;a-2\}$ — ровно два различных (ведь $a-2<2$);
— при $a=0\text{:}$ корни $\{2;-2;0\}$ — три;
— при $a>0,a\ne 4\text{:}$ среди $\{2;a-2;\sqrt{a};-\sqrt{a}\}$ различных три или четыре;
— при $a=4\text{:}$ корни $\{2;2;2;-2\}=\{2;-2\}$ — ровно два.

Ровно два различных решения получаются при $a<0$ и при $a=4\text{.}$
Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \{4\}\text{.}$