Найдите значение параметра a, при каждом из которых уравнение (x-2)a^2-(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0 имеет ровно два решения.

Сгруппируем уравнение как квадратное относительно a. Воспользуемся разложениями x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2) и x^3-x^2-4=(x-2)(x^2+x+2): (x-2)a^2-(x-2)(x^2+x+2)a+x^2(x-2)(x+2)=0, (x-2)(a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2))=0. Квадратный трёхчлен в скобках раскладывается на множители, так как x^2*(x+2)=x^2(x+2) и x^2+(x+2)=x^2+x+2: a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2)=(a-x^2)(a-(x+2)). Итак, (x-2)(a-x^2)(a-x-2)=0. Поэтому x=2 — корень при любом a; кроме того, x=a-2 (из a=x+2) и x=+-sqrt(a) (из a=x^2, при a>= 0). Подсчитаем число различных корней: — при a<0: корни 2; a-2 — ровно два различных (ведь a-2<2); — при a=0: корни 2; -2; 0 — три; — при a>0, a!= 4: среди 2; a-2; a; - a различных три или четыре; — при a=4: корни 2; 2; 2; -2=2; -2 — ровно два. Ровно два различных решения получаются при a<0 и при a=4. Ответ: ain(-inf;0)U4.

\(a\in(-\infty;\,0)\cup\{4\}\)