Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое число на красной. Числа на синих карточках увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 31,2. а) Может ли быть 10 синих карточек? б) Может ли быть 10 красных карточек? в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Обозначим сумму всех чисел на красных карточках S_(red), а сумму всех чисел на синих карточках S_(blue). Так как по условию среднее арифметическое всех чисел равно 16, то (S_(red)+S_(blue))/(50)=16 =>S_(red)+S_(blue)=16* 50=800. После увеличения в два раза всех чисел на синих карточках их сумма тоже увеличилась в два раза, а среднее арифметическое стало равно 31,2, то есть (S_(red)+2* S_(blue))/(50)=31,2 =>S_(red)+2* S_(blue)=31,2* 50=1560. Вычитая из второго равенства первое: (S_(red)+2* S_(blue))-(S_(red)+S_(blue))=1560-800 =>S_(blue)=760. Тогда S_(red)=800-S_(blue)=800-760=40 =>S_(red)=40. а) Если синих карточек 10, то красных 50-10=40. Так как на всех красных карточках написаны натуральные числа, и в худшем случае равные минимум 1, в таком случае сумма чисел на красных карточках равно 40, поэтому на всех красных карточках написаны 1. Иначе если увеличить хотя бы одно число, то сумма будет больше 40. Значит, теперь нужно понять, какие числа должны быть записаны на синих карточках. Заметим, что их сумма равна 760=76* 10. Тогда можно взять 5 пар чисел, равноудалённых от числа 76, чтобы все числа были разные и сумма оставалась равной 760. Получается пример: 71, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 79, 80, 81. Здесь все числа различные и больше 1, то есть любого из чисел на красных карточках. Следовательно, ответ в пункте а): да, может. б) Предположим, что красных карточек 10, тогда синих 40. Заметим, что если числа на всех красных карточках не больше 3, то сумма равна максимум 10* 3=30, но S_(red)=40 — противоречие. Значит, на красных карточках есть хотя бы одно число, не меньшее 4. Но больше всего чисел на синих карточках не меньше, чем число, записанное на красной карточке. У всех синих карточек разные натуральные числа, значит минимум они образуют арифметическую прогрессию, начиная с a_1 — первый член и d — разность прогрессии, по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии: если a_1 — первый член и d — разность прогрессии, то S_n=(2a_1+d*(n-1))/(2)* n. Тогда первый член прогрессии равен 5 и каждый следующий увеличивается минимум на 1, а всего их 40: 5+6++44=(49* 40)/(2)=980>760. Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть 10 красных карточек быть не может. Значит, в пункте б): нет, не может. в) Докажем, что 36 и больше синих карточек быть не может. В этом случае красных карточек не больше 14, тогда наибольшее число на них не менее 3, иначе сумма будет равна максимум 2* 14=28<40. Значит, числа на синих карточках не меньше 4. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках, если число хотя бы 36: 4+5++39=(43* 36)/(2)=774>760. Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть не могло быть 36 и более синих. Теперь достаточно привести пример на 35 синих карточек. Красные карточки: пять чисел 2 и десять чисел 3 с суммой S_(red)=2* 5+3* 10=40. Синие карточки: 34 последовательных числа от 4 до 37 с суммой 697 и последнее число равно 760-697=63. Получили, что все числа различные и больше чисел на красных карточках. Значит, максимум мог быть 35 синих карточек.

а) Да, может; б) Нет, не может; в) 35