Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{x4−(y+a)4−0,5a2x2+0,5a2(y+a)2=0,y=axимеет ровно четыре различных решения.
Подставим y=ax во второе уравнение системы в первое. Тогда y+a=ax+a=a(x+1).
Преобразуем первое уравнение, группируя слагаемые как разности квадратов:
[x4−(y+a)4]+0,5a2[(y+a)2−x2]=0, [x2−(y+a)2][x2+(y+a)2]−0,5a2[x2−(y+a)2]=0, [x2−(y+a)2]⋅[x2+(y+a)2−0,5a2]=0.Каждое решение системы получается из одного из двух множителей. Подставим y+a=a(x+1).
Первый множитель (обозначим уравнение A):
x2−a2(x+1)2=0⟺(x−a(x+1))(x+a(x+1))=0.Отсюда два линейных уравнения:
x=a(x+1)⇒x(1−a)=a,x=−a(x+1)⇒x(1+a)=−a.При ae1 и ae−1 они дают
x1=1−aa,x2=−1+aa.Эти корни совпадают только при a=0 (тогда x1=x2=0); при ae0 они различны. При a=1 пропадает корень x1, при a=−1 - корень x2 (остаётся по одному).
Второй множитель (обозначим уравнение B):
x2+a2(x+1)2−0,5a2=0⟺(1+a2)x2+2a2x+0,5a2=0.Его дискриминант
D=(2a2)2−4(1+a2)⋅0,5a2=4a4−2a2(1+a2)=2a2(a2−1).Уравнение B даёт два различных действительных корня тогда и только тогда, когда D>0, то есть при a2>1 (при a2≤1 корней либо нет, либо один — при a=±1).
Итак, чтобы получить ровно четыре различных решения, нужно ровно по два различных корня от каждого уравнения и отсутствие совпадений между корнями A и B. Уравнение A даёт два различных корня при ae0,ae±1; уравнение B даёт два различных корня при ∣a∣>1. Совмещая эти условия, получаем необходимое ∣a∣>1.
Осталось исключить значения a, при которых корень уравнения B совпадает с корнем уравнения A. Подставим корни A в B.
Подстановка x=1−aa (корень x=a(x+1), то есть a(x+1)=x) в B:
x2+a2(x+1)2−0,5a2=x2+x2−0,5a2=2x2−0,5a2=0⇒x2=0,25a2.Тогда (1−a)2a2=0,25a2, при ae0 получаем (1−a)2=4, откуда 1−a=±2, то есть a=−1 или a=3.
Подстановка x=−1+aa (корень x=−a(x+1), то есть a(x+1)=−x) в B даёт аналогично 2x2=0,5a2, то есть (1+a)2a2=0,25a2, откуда (1+a)2=4, 1+a=±2, то есть a=1 или a=−3.
Значения a=±1 уже исключены условием ∣a∣>1. Остаются «лишние» совпадения при a=3 и a=−3: здесь один из корней B совпадает с корнем A, поэтому различных решений становится только три. (Проверка: при a=3 корни A равны −1,5 и −0,75, корни B равны −1,5 и −0,3; общий корень −1,5, итого три различных. Аналогично при a=−3.)
Таким образом, ровно четыре различных решения система имеет при ∣a∣>1, кроме a=±3:
a∈(−∞;−3)∪(−3;−1)∪(1;3)∪(3;+∞).Ответ: a∈(−∞;−3)∪(−3;−1)∪(1;3)∪(3;+∞).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ЕГЭ 2026
sdamex