Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases x^4 - (y+a)^4 - 0,5a^2 x^2 + 0,5a^2 (y+a)^2 = 0, y = a x cases имеет ровно четыре различных решения.

Подставим y = ax во второе уравнение системы в первое. Тогда y + a = ax + a = a(x+1). Преобразуем первое уравнение, группируя слагаемые как разности квадратов: [x^4 - (y+a)^4] + 0,5a^2[(y+a)^2 - x^2] = 0, [x^2 - (y+a)^2][x^2 + (y+a)^2] - 0,5a^2[x^2 - (y+a)^2] = 0, [x^2 - (y+a)^2]*[x^2 + (y+a)^2 - 0,5a^2] = 0. Каждое решение системы получается из одного из двух множителей. Подставим y+a = a(x+1). Первый множитель (обозначим уравнение A): x^2 - a^2(x+1)^2 = 0 (x - a(x+1))(x + a(x+1)) = 0. Отсюда два линейных уравнения: x = a(x+1)=>x(1-a) = a, x = -a(x+1)=>x(1+a) = -a. При a e 1 и a e -1 они дают x_1 = (a)/(1-a), x_2 = -(a)/(1+a). Эти корни совпадают только при a = 0 (тогда x_1 = x_2 = 0); при a e 0 они различны. При a = 1 пропадает корень x_1, при a = -1 — корень x_2 (остаётся по одному). Второй множитель (обозначим уравнение B): x^2 + a^2(x+1)^2 - 0,5a^2 = 0 (1+a^2)x^2 + 2a^2 x + 0,5a^2 = 0. Его дискриминант D = (2a^2)^2 - 4(1+a^2)* 0,5a^2 = 4a^4 - 2a^2(1+a^2) = 2a^2(a^2 - 1). Уравнение B даёт два различных действительных корня тогда и только тогда, когда D > 0, то есть при a^2 > 1 (при a^2 <= 1 корней либо нет, либо один — при a = +- 1). Итак, чтобы получить ровно четыре различных решения, нужно ровно по два различных корня от каждого уравнения и отсутствие совпадений между корнями A и B. Уравнение A даёт два различных корня при a e 0,a e +- 1; уравнение B даёт два различных корня при |a| > 1. Совмещая эти условия, получаем необходимое |a| > 1. Осталось исключить значения a, при которых корень уравнения B совпадает с корнем уравнения A. Подставим корни A в B. Подстановка x = (a)/(1-a) (корень x = a(x+1), то есть a(x+1) = x) в B: x^2 + a^2(x+1)^2 - 0,5a^2 = x^2 + x^2 - 0,5a^2 = 2x^2 - 0,5a^2 = 0 =>x^2 = 0,25a^2. Тогда (a^2)/((1-a)^2) = 0,25a^2, при a e 0 получаем (1-a)^2 = 4, откуда 1 - a = +- 2, то есть a = -1 или a = 3. Подстановка x = -(a)/(1+a) (корень x = -a(x+1), то есть a(x+1) = -x) в B даёт аналогично 2x^2 = 0,5a^2, то есть (a^2)/((1+a)^2) = 0,25a^2, откуда (1+a)^2 = 4, 1 + a = +- 2, то есть a = 1 или a = -3. Значения a = +- 1 уже исключены условием |a| > 1. Остаются «лишние» совпадения при a = 3 и a = -3: здесь один из корней B совпадает с корнем A, поэтому различных решений становится только три. (Проверка: при a = 3 корни A равны -1,5 и -0,75, корни B равны -1,5 и -0,3; общий корень -1,5, итого три различных. Аналогично при a = -3.) Таким образом, ровно четыре различных решения система имеет при |a| > 1, кроме a = +- 3: a in (-inf;-3) U (-3;-1) U (1;3) U (3;+inf). Ответ: a in (-inf;-3) U (-3;-1) U (1;3) U (3;+inf).

\(a \in (-\infty;\,-3) \cup (-3;\,-1) \cup (1;\,3) \cup (3;\,+\infty)\)