Решите неравенство 2^(_2(x^2-1)) + x^4 - 5 <= 0.

Задача №17360: Неравенства

Область допустимых значений задаётся условием положительности выражения под знаком логарифма:

x^{2} - 1 > 0 ⟺ x < - 1 или x > 1.

На области допустимых значений по основному логарифмическому тождеству

2^{l o g_{2} (x^{2} - 1)} = x^{2} - 1.

Подставим это в неравенство:

(x^{2} - 1) + x^{4} - 5 \leq 0 ⟺ x^{4} + x^{2} - 6 \leq 0.

Введём замену $t = x^{2},$ причём $t \geq 0 :$

t^{2} + t - 6 \leq 0 ⟺ (t + 3) (t - 2) \leq 0.

Решение последнего неравенства: $- 3 \leq t \leq 2 .$ С учётом ограничения $t \geq 0$ получаем

0 \leq t \leq 2 ⟺ x^{2} \leq 2 ⟺ - 2 \leq x \leq 2 .

Осталось пересечь это с областью допустимых значений $x < - 1$ или $x > 1 :$

[- 2; - 1) \cup (1; 2] .

Ответ: $x \in [- 2; - 1) \cup (1; 2] .$