Задача №17359

Решите неравенство

$$5^{{\log }_5\left(9-x^2\right)}+x^4-29⩾0.$$

Запишем ОДЗ:

$$9-x^2>0\iff x\in (-3;3).$$

Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойство логарифма $a^{{\log }_{a}b}=b\text{:}$

$$9-x^2+x^4-29⩾0$$ $$x^4-x^2-20⩾0.$$

Сделаем замену $x^2=t,t⩾0\text{:}$

$$t^2-t-20⩾0$$ $$(t+4)(t-5)⩾0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов с учётом того, что $t⩾0\text{.}$
Получаем $t\in [5;+\infty )\text{.}$
Сделаем обратную замену:

$$x^2⩾5$$ $$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right]\cup \left[\sqrt{5};+\infty \right).$$

Персечём с ОДЗ:

$$x\in \left(-3;-\sqrt{5}\right]\cup \left[\sqrt{5};3\right).$$

Получаем в итоге:

$$x\in \left(-3;-\sqrt{5}\right]\cup \left[\sqrt{5};3\right).$$