Найдите точку минимума функции y = xsqrt(x) - 3x + 17.

Функция определена при всех x 0. Исследуем функцию и найдём её промежутки возрастания и убывания, для этого найдём её производную: y' = (x^((3)/(2)) - 3x + 17)' = (3)/(2)x^((1)/(2)) - 3. Найдём нули производной: y' = (3)/(2)x^((1)/(2)) - 3 = 0. Решим полученное уравнение: (3)/(2)x^((1)/(2)) - 3 = 0, (3)/(2)x^((1)/(2)) = 3, sqrt(x) = 2, x = 4. Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдём знаки производной на каждом из таких промежутков. На промежутке (0;4) производная отрицательна, то есть функция y(x) убывает. На промежутке (4;+inf) производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, x = 4 является точкой минимума.

4