Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Обозначим площадь боковой поверхности исходной призмы за S_(исх), площадь боковой поверхности отсечённой призмы за S_(отс). Пусть M, N, M_1 и N_1 — середины рёбер AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1; призма ABCA_1B_1C_1. Площадь боковой поверхности исходной призмы: S_(исх)=S_(A_1B_1BA)+S_(B_1C_1CB)+S_(A_1C_1CA). Площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна: S_(отс)=S_(A_1M_1MA)+S_(M_1N_1NM)+S_(A_1N_1NA). Так как MN — средняя линия ABC, то MN=(1)/(2)BC, AM=MB=(1)/(2)AB, AN=NC=(1)/(2)AC. Рассмотрим параллелограммы A_1M_1MA и A_1B_1BA. Их стороны AA_1, BB_1 и MM_1 равны и параллельны. Сторона AM в 2 раза меньше стороны AB и лежит с ней на одной прямой, сторона A_1M_1 в 2 раза меньше стороны A_1B_1 и лежит с ней на одной прямой. Это значит, что параллелограмм A_1B_1BA состоит из двух параллелограммов A_1M_1MA: S_(A_1M_1MA)=(1)/(2)S_(A_1B_1BA). Аналогично параллелограмм A_1C_1CA состоит из двух параллелограммов A_1N_1NA: S_(A_1N_1NA)=(1)/(2)S_(A_1C_1CA). Рассмотрим параллелограммы M_1N_1NM и B_1C_1CB. Их стороны BB_1, CC_1, MM_1 и NN_1 равны и параллельны. Сторона M_1N_1 в 2 раза меньше стороны B_1C_1 и параллельна ей, сторона MN в 2 раза меньше стороны BC и параллельна ей. Это значит, что параллелограмм B_1C_1CB состоит из двух параллелограммов M_1N_1NM: S_(M_1N_1NM)=(1)/(2)S_(B_1C_1CB). Найдём площадь боковой поверхности отсечённой призмы: S_(отс)=S_(A_1M_1MA)+S_(M_1N_1NM)+S_(A_1N_1NA)=(1)/(2)S_(A_1B_1BA)+(1)/(2)S_(B_1C_1CB)+(1)/(2)S_(A_1C_1CA)=(1)/(2)S_(исх)=(24)/(2)=12.

12