Задача №17339

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Обозначим площадь боковой поверхности исходной призмы за $S_{\text{исх}}\text{,}$ площадь боковой поверхности отсечённой призмы за $S_{\text{отс}}\text{.}$

Пусть $M\text{,}$ $N\text{,}$ $M_1$ и $N_1$ — середины рёбер $AB\text{,}$ $AC\text{,}$ $A_1{B}_1$ и $A_1{C}_1\text{;}$ призма $ABC{A}_1{B}_1{C}_1\text{.}$

Площадь боковой поверхности исходной призмы:

Площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна:

Так как $MN$ — средняя линия $△ABC\text{,}$ то

Рассмотрим параллелограммы $A_1{M}_{1}MA$ и $A_1{B}_{1}BA\text{.}$ Их стороны $A{A}_1\text{,}$ $B{B}_1$ и $M{M}_1$ равны и параллельны. Сторона $AM$ в 2 раза меньше стороны $AB$ и лежит с ней на одной прямой, сторона $A_1{M}_1$ в 2 раза меньше стороны $A_1{B}_1$ и лежит с ней на одной прямой. Это значит, что параллелограмм $A_1{B}_{1}BA$ состоит из двух параллелограммов $A_1{M}_{1}MA\text{:}$

Аналогично параллелограмм $A_1{C}_{1}CA$ состоит из двух параллелограммов $A_1{N}_{1}NA\text{:}$

Рассмотрим параллелограммы $M_1{N}_{1}NM$ и $B_1{C}_{1}CB\text{.}$ Их стороны $B{B}_1\text{,}$ $C{C}_1\text{,}$ $M{M}_1$ и $N{N}_1$ равны и параллельны. Сторона $M_1{N}_1$ в 2 раза меньше стороны $B_1{C}_1$ и параллельна ей, сторона $MN$ в 2 раза меньше стороны $BC$ и параллельна ей. Это значит, что параллелограмм $B_1{C}_{1}CB$ состоит из двух параллелограммов $M_1{N}_{1}NM\text{:}$

Найдём площадь боковой поверхности отсечённой призмы: