Задача №17332

Решите неравенство:

$$\frac{{\log }_x(2x-1)\cdot {\log }_x(3-x)+1-{\log }_x(-2x^2+7x-3)}{3^{x^2-x}-9}⩽0.$$

Неравенство:

$$\frac{{\log }_x(2x-1)\cdot {\log }_x(3-x)+1-{\log }_x(-2x^2+7x-3)}{3^{x^2-x}-9}⩽0.$$

Преобразование числителя.

Заметим:

$$-2x^2+7x-3=-(2x-1)(x-3)=(2x-1)(3-x).$$

Значит,

$${\log }_x(-2x^2+7x-3)={\log }_x(2x-1)+{\log }_x(3-x).$$

Пусть $u={\log }_x(2x-1)\text{,}$ $v={\log }_x(3-x)\text{.}$ Числитель принимает вид:

$$uv+1-(u+v)=uv-u-v+1=(u-1)(v-1).$$

Так как $1={\log }_{x}x\text{,}$ имеем $u-1={\log }_x\frac{2x-1}{x}$ и $v-1={\log }_x\frac{3-x}{x}\text{.}$

ОДЗ:

1. $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{;}$
2. $2x-1>0\Rightarrow x>1/2\text{;}$
3. $3-x>0\Rightarrow x<3\text{;}$
4. Знаменатель: $3^{x^2-x}\ne 9\iff x^2-x\ne 2\iff x\ne 2,x\ne -1\text{.}$

Итого: $x\in (1/2;1)\cup (1;2)\cup (2;3)\text{.}$

Знак числителя.

Обозначим $A={\log }_x\frac{2x-1}{x}={\log }_x\left(2-\frac{1}{x}\right)$ и $B={\log }_x\frac{3-x}{x}={\log }_x\left(\frac{3}{x}-1\right)\text{.}$

Знак $A\text{:}$ рассмотрим выражение $\left(2-\frac{1}{x}\right)-1=\frac{x-1}{x}\text{.}$ При $x>1/2$ знак совпадает со знаком $(x-1)\text{.}$

1. При $x>1\text{:}$ функция ${\log }_{x}t$ имеет знак $(t-1)\text{,}$ то есть $A>0\text{.}$
2. При $1/2<x<1\text{:}$ функция ${\log }_{x}t$ имеет знак, обратный к знаку $(t-1)\text{.}$ Поскольку $(x-1)<0\text{,}$ получаем $A>0\text{.}$

Таким образом, $A>0$ на всей области допустимых значений.

Знак $B\text{:}$ рассмотрим выражение $\left(\frac{3}{x}-1\right)-1=\frac{3-2x}{x}\text{.}$ На интервале $(1/2;3)$ знак совпадает со знаком $(3-2x)\text{.}$

1. На $(1/2;1)\text{:}$ $3-2x>0\text{,}$ а основание $x<1\text{,}$ поэтому $B<0\text{.}$
2. На $(1;3/2)\text{:}$ $3-2x>0\text{,}$ основание $x>1\text{,}$ поэтому $B>0\text{.}$
3. При $x=3/2\text{:}$ $B={\log }_{x}1=0\text{.}$
4. На $(3/2;3)$ (без $x=2$): $3-2x<0\text{,}$ основание $x>1\text{,}$ поэтому $B<0\text{.}$

Числитель $N=A\cdot B\text{:}$

• на $(1/2;1)\text{:}$ $N<0\text{;}$
• на $(1;3/2)\text{:}$ $N>0\text{;}$
• при $x=3/2\text{:}$ $N=0\text{;}$
• на $(3/2;2)\text{:}$ $N<0\text{;}$
• на $(2;3)\text{:}$ $N<0\text{.}$

Знак знаменателя $D=3^{x^2-x}-9\text{:}$

$D>0\iff x^2-x>2\iff x\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )\text{.}$

С учетом ОДЗ:

• на $(1/2;1)$ и $(1;2)\text{:}$ $D<0\text{;}$
• на $(2;3)\text{:}$ $D>0\text{.}$

Решение неравенства $\frac{N}{D}⩽0\text{:}$

• на $(1/2;1)\text{:}$ $N<0,D<0\Rightarrow N/D>0\text{;}$
• на $(1;3/2)\text{:}$ $N>0,D<0\Rightarrow N/D<0$ — подходит;
• при $x=3/2\text{:}$ $N=0,D\ne 0$ — подходит;
• на $(3/2;2)\text{:}$ $N<0,D<0\Rightarrow N/D>0\text{;}$
• на $(2;3)\text{:}$ $N<0,D>0\Rightarrow N/D<0$ — подходит.

Ответ: $x\in \left(1;\frac{3}{2}\right]\cup (2;3)\text{.}$