Задача №17327

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle BCD=95^{\circ }\text{,}$ $DE$ — касательная к окружности в точке $D\text{,}$ $\angle ADE=55^{\circ }\text{.}$

1. Угол между касательной $DE$ и хордой $DA$ равен половине дуги $DA\text{,}$ заключённой внутри этого угла (свойство угла между касательной и хордой):

$$\angle ADE=\frac{1}{2}\cup DA=55^{\circ }\Rightarrow \cup DA=110^{\circ },$$

где имеется в виду дуга $DA\text{,}$ не содержащая точек $B$ и $C\text{.}$

2. В четырёхугольнике $ABCD\text{,}$ вписанном в окружность, $\angle BCD$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $BAD$ (не содержащую $C$). По теореме о вписанном угле:

$$\angle BCD=\frac{1}{2}\cup BAD\Rightarrow \cup BAD=190^{\circ }.$$

Тогда дуга $BCD$ (через точку $C$) равна $360^{\circ }-190^{\circ }=170^{\circ }\text{.}$

3. Полная окружность: $\cup AB+\cup BC+\cup CD+\cup DA=360^{\circ }\text{.}$ Поскольку $\cup BC+\cup CD=\cup BCD=170^{\circ }$ и $\cup DA=110^{\circ }\text{:}$

$$\cup AB=360^{\circ }-170^{\circ }-110^{\circ }=80^{\circ }.$$

Ответ: 80